Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質量為m的物體（可視為質點）從直軌道的P點由靜止釋放，結果它在兩軌道之間做往復運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因素為μ，求：
（1）物體做往復運動的過程中，在軌道AB上通過的總路程．
（2）物體對圓弧軌道最低點E的最小壓力．

Answer 1

分析：（1）物體只有在直軌道AB上往復運動時，需克服摩擦阻力做功，機械能不斷減小，在光滑的圓弧軌道上沒有機械能損失；只有當物體到達B點速度為零時，物體才不能再進入直軌道AB，只在圓弧軌道上往復運動．所以我們就選擇從P點到最后速度為零的過程為研究對象，應用動能定理求出摩擦力做功的路程即物體在AB軌道上的總路程． 
（2）欲求在E點物體對圓弧軌道的最小壓力當然首先解決E點的最小速度，即物體只在圓弧軌道上往復運動經過E點時速度最小，由動能定理或機械能守恒都可以，然后利用牛頓第二定律求出軌道對物體的彈力，再由牛頓第三定律求出物體對軌道的壓力．

解答：解：（1）物體在直軌道AB上往復運動時，需克服摩擦阻力做功，機械能不斷減小，當物體到達B點速度為零時，物體不能再進入直軌道AB，只在圓弧軌道上往復運動．
對物體從P到B速度為零的過程，由動能定理得mgRcosθ-μmgcosθ?s=0
所以s=

R

μ

（2）當物體只在圓弧軌道上往復運動經過E點時，物體對軌道上E點的壓力最小，
由機械能守恒定律得   mgR(1-cosθ)=

1

2

mv2
由牛頓第二定律得   FN-mg=m

v2

R

聯立兩式解得   F_N=mg（3-2cosθ）
由牛頓第三定律得，物體對軌道上E點的壓力F_N′=mg（3-2cosθ）
答：（1）在軌道AB上通過的總路程s=

R

μ

（2）物體對圓弧軌道最低點E的最小壓力F_N′=mg（3-2cosθ）

點評：通過受力分析明確物體的運動規律是本體的關鍵，即知道物體在B點的速度為零；
這是一道考查力和運動關系、功能關系的中檔次好題．