Question

（1）某行星有一質量為m的衛星，衛星繞行星做勻速圓周運動，其運動半徑為r，周期為T，求行星的質量（已知萬有引力常量為G）．
（2）小鋼球質量為m，沿光滑的軌道由靜止滑下，軌道形狀如圖所示，與光滑軌道相接的圓形軌道的半徑為R，要使小球沿光滑軌道恰能通過最高點，物體應從離軌道最低點多高的地方開始滑下？

Answer 1

分析：（1）研究衛星繞行星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質量；
（2）要使小球能夠通過圓軌道最高點，那么小球在最高點時應該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度h．

解答：解：（1）設行星的質量為M．
由行星對衛星的萬有引力提供向心力得G

Mm

r2

=

m4π2

T2

r
解之得M=

4π2r3

GT2

（2）小鋼球恰能通過最高點時N=0
最高點時，由牛頓第二定律得mg=m

v2

R

…①
小球在下落過程中由機械能守恒定律得mgh=mg2R+

1

2

mv²…②
由①②解得h=2.5R
答：（1）行星的質量為

4π2r3

GT2

；
（2）物體應從離軌道最低點2.5R的地方開始滑下．

點評：（1）本題考查了萬有引力在天體中的應用，解題的關鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．
（2）本題屬于圓周運動中繩的模型，在最高點時應該是重力恰好做為圓周運動的向心力，對于圓周運動中的兩種模型一定要牢牢的掌握住．