Question

如圖所示，垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，磁場的寬度為L．一質量為m、帶電量為q、速率為V₀的正粒子從邊界a垂直于磁場方向射入，入射方向與邊界a的夾角為θ，求粒子再次從磁場里射出所經歷的時間．

Answer 1

分析：本題的關鍵是應討論粒子到底是從邊界b射出還是從邊界a射出，若從b射出，根據對稱性可知，粒子軌跡應與b相切，畫出軌跡圖，根據幾何知識求出半徑和對應的圓心角即可；若是從邊界a射出，則又存在兩種情況，分別畫出軌跡圖，然后根據幾何知識求出邊界與圓心角即可．

解答：解：從題設條件無法判定粒子從a和b哪個邊界射出，應討論如下：
（1）若帶電粒子從邊界a射出，軌跡恰好與邊界b相切時粒子軌跡如圖所示：
由幾何知識可得：L=R+Rcosθ…①
又Bvq=

mv 2 0

R

…②
解得R=

mv   0

qB

，L=

mv   0

qB

（1+coθ），可見若L≥

mv   0

qB

(1+cosθ)時，粒子將從a邊界射出，由圖可知粒子軌跡對應的圓心角為（2π-2θ），
所以粒子所用時間為：t=

(2π-2θ)

2π

?T=

2(π-θ)m

qB

（2）若粒子從邊界b射出，當L＜

mv   0

qB

(1+cosθ)時，粒子將從邊界b射出，又存在兩種情況，
①軌跡如圖所示：

由圖可知：L=Rsinα+Rsinβ=R（sinα+sinβ），其中α=

π

2

-θ，解得β=arc（

L-Rosθ

R

）
軌跡圓弧對應的圓心角為φ=α+β=

π

2

-θ+β
所以射出經歷的時間為t=

( π 2 -θ+β)

2π

?T=

( π 2 -θ+β)m

qB

②如圖所示：

由幾何關系可知L=Rsinα-Rsinβ=Rcoθ-Rsinβ=R（cosθ-sinβ）
解得β=arcsin(

Rcosθ-L

R

)
所以圓心角為φα-β=

π

2

-θ-β
所經歷的時間為t=

( π 2 -θ-β)

qB

答：粒子再次從磁場里射出經歷的時間可能為間為：t=

2(π-θ)m

qB

或t=

( π 2 -θ+β)m

qB

或t=

( π 2 -θ-β)

qB

點評：處理有關帶電粒子在有界磁場中運動的問題一般思路是：根據題意畫出各種可能的軌跡圖，利用幾何知識找到圓心并求出半徑和圓心角即可求解．