Question

【選修3-4選做題】
有一種高腳酒杯（腳高且細），如圖所示，杯內底面為一凸起的球面，球心在頂點O下方玻璃中的C點，球面的半徑為R=1.50cm，O點到杯口平面的距離為8.0cm，在杯腳底中心處P點緊貼一張小畫片，P點距O點6.3cm．這種酒杯未斟酒水，若在杯口上方向杯底方向觀看，看不出畫片上的景物．已知玻璃的折射率n=1.56，角度很小時，可以認為sinα=α。求：   
(1)光在玻璃中的傳播速度；    
(2)計算畫片成像位置離杯口的距離．

Answer 1

解：（1）  
（2）把酒杯放平，分析成像問題，未斟酒時，杯底凸球面的兩側介質的折射率分別為和。在圖中，P為畫片中心，由P發出經過球心C的光線PO經過頂點不變方向進入空氣中；由P發出的與PO成角的另一光線PA在A處折射。設A處入射角為i，折射角為r，半徑CA與PO的夾有為θ，由折射定律和幾何關系可得

  

在△PAC中，由正弦定理，有
考慮近軸光線成像，都是小角度，則有


由(2)(4)(5)式、的數值及，可得
  
由(6)(7)式有
由上式及圖可知，折射線將與PO延長線相交于，即為P點的實像，畫面將成實像于處
在△中，由正弦定理有
又有
考慮到是近軸光線，由(9)(10)式可得
又有
由以上各式并代入數據，可得
所以像離杯口的距離為0.1cm