Question

如圖1所示，兩根間距為l₁的平行導軌PQ和MN處于同一水平面內，左端連接一阻值為R的電阻，導軌平面處于豎直向上的勻強磁場中．一質量為m、橫截面為正方形的導體棒CD垂直于導軌放置，棒到導軌左端PM的距離為l₂，導體棒與導軌接觸良好，不計導軌和導體棒的電阻．



（1）若CD棒固定，已知磁感應強度B的變化率

△B

△t

隨時間t的變化關系式為

△B

△t

=ksinωt，求回路中感應電流的有效值I；
（2）若CD棒不固定，棒與導軌間最大靜摩擦力為f_m，磁感應強度B隨時間t變
化的關系式為B=kt．求從t=0到CD棒剛要運動，電阻R上產生的焦耳熱Q；
（3）若CD棒不固定，不計CD棒與導軌間的摩擦；磁場不隨時間變化，磁感應強度為B．現對CD棒施加水平向右的外力F，使CD棒由靜止開始向右以加速度a做勻加速直線運動．請在圖2中定性畫出外力F隨時間t變化的圖象，并求經過時間t₀，外力F的沖量大小I．

Answer 1

（1）根據法拉第電磁感應定律
回路中的感應電動勢e=

△Φ

△t

=kl1l2sinωt
所以，電動勢的最大值 E_m=kl₁l₂
由閉合電路歐姆定律 Im=

Em

R

=

kl1l2

R

由于交變電流是正弦式的，所以感應電流的有效值I=

2

2

I_m
解得，I=

kl1l2

2 R

（2）根據法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢 E=l1l2

△B

△t

=kl1l2
根據閉合電路歐姆定律 I=

E

R

=

kl1l2

R

CD桿受到的安培力 FA=BIl1=

k2 l 21 l2

R

t
當CD桿將要開始運動時，滿足：F_A=f_m
由上式解得：CD棒運動之前，產生電流的時間t=

fmR

k2 l 21 l2

所以，在時間t內回路中產生的焦耳熱Q=I²Rt=f_ml₂
（3）CD棒切割磁感線產生的感應電動勢E=Bl₁v
時刻t的感應電流I=

E

R

=

Bl1at

R

CD棒在加速過程中，根據由牛頓第二定律 F-BIl₁=ma
解得：F=

B2 l 21 a

R

t+ma
根據上式，可得到外力F隨時間變化的圖象如圖所示，由圖象面積可知：經過時間t₀，外力F的沖量I
I=

1

2

[(

B2 l 21 a

R

t0+ma)+ma]t0
解得：I=

B2 l 21 a t 20

2R

+mat0



答：
（1）回路中感應電流的有效值I為

kl1l2

2 R

；
（2）從t=0到CD棒剛要運動，電阻R上產生的焦耳熱Q為f_ml₂；
（3）在圖2中定性畫出外力F隨時間t變化的圖象如圖所示，經過時間t₀，外力F的沖量大小I為

B2 l 21 a t 20

2R

+mat₀．