Question

如圖1所示，兩根間距為l₁的平行導軌PQ和MN處于同一水平面內，左端連接一阻值為R的電阻，導軌平面處于豎直向上的勻強磁場中．一質量為m、橫截面為正方形的導體棒CD垂直于導軌放置，棒到導軌左端PM的距離為l₂，導體棒與導軌接觸良好，不計導軌和導體棒的電阻．

（1）若CD棒固定，已知磁感應強度B的變化率

△B

△t

隨時間t的變化關系式為

△B

△t

=ksinωt，求回路中感應電流的有效值I；
（2）若CD棒不固定，棒與導軌間最大靜摩擦力為f_m，磁感應強度B隨時間t變
化的關系式為B=kt．求從t=0到CD棒剛要運動，電阻R上產生的焦耳熱Q；
（3）若CD棒不固定，不計CD棒與導軌間的摩擦；磁場不隨時間變化，磁感應強度為B．現對CD棒施加水平向右的外力F，使CD棒由靜止開始向右以加速度a做勻加速直線運動．請在圖2中定性畫出外力F隨時間t變化的圖象，并求經過時間t₀，外力F的沖量大小I．

Answer 1

分析：（1）已知磁感應強度B的變化率

△B

△t

=ksinωt，由法拉第電磁感應定律求得感應電動勢瞬時表達式，由歐姆定律求得感應電流瞬時表達式，得到感應電流的最大值I_m．由于交變電流是正弦式的，所以感應電流的有效值I=

2

2

I_m．
（2）當磁感應強度B隨時間t變化的關系式為B=kt，回路中產生恒定的感應電流，CD棒所受的安培力均勻增大，當安培力等于最大靜摩擦力時，棒剛要運動．根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律得到安培力與時間的關系式，由安培力等于最大靜摩擦力求出時間，由焦耳定律求Q．
（3）先推導出安培力與時間的關系式，根據牛頓第二定律外力F與時間的關系式，作出圖象，圖象的“面積”等于外力的沖量，即可由幾何知識求得沖量I．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律
回路中的感應電動勢e=

△Φ

△t

=kl1l2sinωt
所以，電動勢的最大值 E_m=kl₁l₂
由閉合電路歐姆定律 Im=

Em

R

=

kl1l2

R

由于交變電流是正弦式的，所以感應電流的有效值I=

2

2

I_m
解得，I=

kl1l2

2 R

（2）根據法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢 E=l1l2

△B

△t

=kl1l2
根據閉合電路歐姆定律 I=

E

R

=

kl1l2

R

CD桿受到的安培力 FA=BIl1=

k2 l 2 1 l2

R

t
當CD桿將要開始運動時，滿足：F_A=f_m
由上式解得：CD棒運動之前，產生電流的時間t=

fmR

k2 l 2 1 l2

所以，在時間t內回路中產生的焦耳熱Q=I²Rt=f_ml₂
（3）CD棒切割磁感線產生的感應電動勢E=Bl₁v
時刻t的感應電流I=

E

R

=

Bl1at

R

CD棒在加速過程中，根據由牛頓第二定律 F-BIl₁=ma
解得：F=

B2 l 2 1 a

R

t+ma
根據上式，可得到外力F隨時間變化的圖象如圖所示，由圖象面積可知：經過時間t₀，外力F的沖量I
I=

1

2

[(

B2 l 2 1 a

R

t0+ma)+ma]t0
解得：I=

B2 l 2 1 a t 2 0

2R

+mat0

答：
（1）回路中感應電流的有效值I為

kl1l2

2 R

；
（2）從t=0到CD棒剛要運動，電阻R上產生的焦耳熱Q為f_ml₂；
（3）在圖2中定性畫出外力F隨時間t變化的圖象如圖所示，經過時間t₀，外力F的沖量大小I為

B2 l 2 1 a t 2 0

2R

+mat₀．

點評：本題是電磁感應與交變電流、力學、電路等多個知識的綜合，根據法拉第電磁感應定律求感應電動勢，由歐姆定律求感應電流是基本的思路．對于涉及棒的運動問題，安培力的推導是關鍵．