Question

【題目】電磁爐專用平底鍋的鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成。起加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導電環，如圖所示，（圖中沒有畫出所有的圓環）。導電環所用的材料單位長度的電阻R0=0.125（/m），從中心向外第n個同心圓環的半徑為rn=（2n-1）r1（n為正整數且n7），已知r1=1.0cm。當電磁爐開啟后，能產生垂直于鍋底方向的變化磁場，已知該磁場的磁感應強度B的變化率為=100sin（100t）（T/s），忽略同心導電圓環感應電流之間的相互影響。若不計其他電磁輻射等損失，求：

（1）寫出r1環中感應電動勢e的瞬時表達式，并求其電功率P1；

（2）麥克斯韋認為，磁場變化時會在空間激發出感生電場（也稱為渦旋電場），上述各環中的感應電流就是電子在感生電場的作用下定向移動形成的。設某段時間內，磁場垂直紙面向里增強，試分析此過程中感生電場方向，并簡述判斷理由；

（3）所有導電圓環的總功率P是多大?（以上計算中取2=10）

Answer 1

【答案】（1）e=0.14sin（100t）（V），P1=0.4W；（2）感生電場是逆時針方向；（3）1900W

【解析】

（1）由法拉第電磁感應定律可得

則第1環的電阻

感應電動勢有效值： ，

則功率：

（2）某段時間內，磁場垂直紙面向里增強，根據楞次定律，感應電流方向逆時針，所以電子是順時針方向轉動，電子受到的感生電場力沿順時針方向，感生電場是逆時針方向；

（3）則第n環中感應電動勢最大值Emax=100ππrn2
代入數據解得Emax=103rn2
第n環的電阻為Rn=0.125π2πrn=2.5rn
第n環的電流最大值為

半徑為rn環的功率Pn，則Pn=In2Rn=（）2×2.5rn=4002×2.5rn3=（2n-1）3P1
7個導電圓環釋放的總功率P，則：
P=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1.9×103W