Question

一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的，在井口固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底.在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖7-7所示.現用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動.已知管筒半徑r=0.100 m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³ kg/m³，大氣壓p₀=1.00×10⁵ Pa.求活塞上升H=9.00 m的過程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長，不計活塞質量，不計摩擦，重力加速度g取10 m/s²)

圖7-7

Answer 1

解析：由于井內水量一定，那么若圓管中的水面升高，則管外水面必然要下降.如果管中水面隨著活塞上升9 m，根據面積關系，可知管外水面要下降3 m，則水面高度差為12 m，而大氣壓強只能支持h₀= =10 m高的水柱，由此可判斷出管中水面上方出現真空.進一步可算出管中水面升高h₁=7.5 m，管外水面下降h₂=2.5 m，再根據功能關系很容易求出拉力F所做的功.可把活塞上升H=9.00 m的過程分為兩段，第一段是活塞移動距離從0到h₁的過程，第二段是活塞移動距離從h₁到H的過程.

    在第一段過程中，拉力F隨著管中水的增加而增大，應根據功和能的關系求拉力的功.在這一過程中，對于活塞和水這個整體，其機械能的增量應等于除重力以外其他力所做的功.

因為始終無動能，并且活塞質量不計，所以整體機械能的增量也就等于水的重力勢能的增量

ΔE，由圖7-8知，ΔE=ρ(πr²h₁)g=1.00×10³×3.14×0.100²×7.5×10× J=1.18×10⁴ J

圖7-8

    重力以外的其他力有管內外的大氣壓力和拉力F.由于管外水下降的體積h₂S₂等于管中水上升的體積h₁S₁，所以大氣壓力對管外水做的正功p₀S₂h₂與大氣壓力對活塞做的負功p₀S₁h₁絕對值相等，大氣壓力所做總功為零.故重力以外的力只有拉力做功，由功能關系知W₁=ΔE=1.18×10⁴ J

    第二段，在活塞從h₁升高到H的過程中，液面不變，F為恒力，它與作用在活塞上向下的大氣壓力平衡，所以F=p₀πr²=1.00×10⁵×3.14×0.100² N=3.14×10³ N

     拉力做的功為W₂=F(H-h₁)=3.14×10³×1.5 J=4.71×10³ J

    所求拉力F所做的總功為 

    W=W₁+W₂=1.18×10⁴ J+4.71×10³ J=1.65×10⁴ J.

答案：1.65×10⁴ J