Question

如圖13所示，一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底.在圓管內有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面.現用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動，已知管筒半徑r=0.100 m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³ kg/m³，大氣壓強p₀=1.00×10⁵ Pa.求活塞上升H=9.00 m的過程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都是足夠長，不計活塞質量，不計摩擦，重力加速度g取10 m/s²）

圖13

Answer 1

1.65×10⁴ J?

解析：從開始提升到活塞升至內外水面高度差為h₀==10 m過程中，活塞始終與管內液體接觸.(再提升活塞時，活塞和水面之間將出現真空，另行討論)

設活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，h₀=h₁+h₂?

因液體體積不變，有?

對活塞這個整體，其機械能的增量應等于除重力外其他力所做的功.因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，即ΔE=ρ(πr²h₁)g

其他力有管內、外的大氣壓力和拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內、外大氣壓力做的總功p₀π(R²-r²)h₂-p₀πr²h₁=0，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能關系知W₁=ΔE

即W₁=ρ(πr²)gh₀²=πr²=1.18×10⁴ J?

活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F是恒力F=πr²p₀，做功?

W₂=F(H-h₁)=πr²p₀(H-h₁)=4.71×10³ J?

所求拉力F做的總功為

W₁+W₂=1.65×10⁴ J.