Question

【題目】如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一輕質彈簧兩端連接兩個質量均為m＝1 kg的物塊B和C。物塊C緊靠著擋板P，物塊B通過一跨過光滑定滑輪的輕質細繩與質量m0＝8 kg、可視為質點的小球A相連，與物塊B相連的細繩平行于斜面，小球A在外力作用下靜止在對應圓心角為60°、半徑R＝2 m的光滑圓弧軌道的最高點a處，此時細繩恰好伸直且無拉力，圓弧軌道的最低點b與光滑水平軌道bc相切。現由靜止釋放小球A，當小球A滑至b點時，物塊B未到達a點，物塊C恰好離開擋板P，此時細繩斷裂。已知重力加速度g取10 m/s2，彈簧始終處于彈性限度內，細繩不可伸長，定滑輪的大小不計。求：

(1)彈簧的勁度系數；

(2)在細繩斷裂后的瞬間，小球A對圓弧軌道的壓力大小。

Answer 1

【答案】（1）5 N/m （2）144 N

【解析】

(1)小球A位于a處時，繩無張力且物塊B靜止，故彈簧處于壓縮狀態

對B由平衡條件有kx＝mgsin 30°

當C恰好離開擋板P時，C的加速度為0，故彈簧處于拉升狀態

對C由平衡條件有kx′＝mgsin 30°

由幾何關系知R＝x＋x′

代入數據解得k＝＝5 N/m

(2)物塊A在a處與在b處時，彈簧的形變量相同，彈性勢能相同，故A在a處與在b處時，A、B系統的機械能相等，有m0gR(1－cos 60°)＝mgRsin 30°＋m0vA2＋mvB2

將A在b處的速度分解，由速度分解關系有vAcos 30°＝vB

代入數據解得vA＝＝4 m/s

在b處，對A由牛頓定律有N－m0g＝m0

代入數據解得N＝m0g＋m0＝144 N

由牛頓第三定律，小球A對圓軌道的壓力大小為N′＝144 N