Question

如圖所示，磁感應強度為B的條形勻強磁場區域的寬度都是d₁，相鄰磁場區域的間距均為d₂，x軸的正上方有一電場強度大小為E，方向與x軸和B均垂直的勻強電場區域，將質量為m、帶正電量為q的粒子（重力忽略不計）從y軸上坐標為h處由靜止釋放．求：
（1）粒子在磁場區域做勻速圓周運動的軌道半徑．
（2）若粒子經磁場區域I、II后回到x軸，則粒子從開始釋放經磁場后第一次回到x軸需要的時間和位置坐標．
（3）若粒子從y軸上坐標為H處以初速度v₀沿x軸正方向水平射出，此后運動中最遠能到達第k個磁場區域的下邊緣，并再次返回到x軸，求d₁、d₂的值．

Answer 1

（1）、設粒子進入磁場時的速度為v，粒子在電場中做加速運動，由功能關系有：
qEh=

1

2

mv2…①
粒子在磁場中做圓周運動，有：
R=

mv

qB

…②
①②兩式聯立得：
R=

2mEh qB2

（2）、設粒子在電場中的加速時間為t₁，則有：
h=

1

2

Eq

m

t

21

，得t1=

2mh Eq

設粒子在磁場中的運動時間為t₂，則t2=

1

2

T，T=

2πm

qB

，則可得：
t2=

πm

qB

設粒子在無磁場區域的運動時間為t₃，則t3=

2d2

vcosα

，
又因cosα=

R2- d 21

R

將v、R代入t3=

2d2

vcosα

，得：


t3=

2md2

2mEqh-B2 q2d 21

則運動的時間為：
t=t1+t2+t3=

2mh qE

+

πm

qB

+

2md2

2mEqh-B2 q2d 21

設粒子回到x軸的坐標為x，則有：
x=2R+2d₂tanα
解得：x=2

2mEh qB2

+

2d1d2

2mEh qB2 - d 21

．
（3）粒子在電場中類平拋，進入磁場時速度v₂，則有：


v2=

v 20 +v 2y

，且有vy=

2EqH m

v₂與水平方向的夾角有：cosβ=

v0

v2

粒子在磁場中偏轉半徑為：R=

mv2

qB

因粒子最遠到達第k個磁場區域的下邊緣，有：
kd₁=R（1-cosβ）
解得：d1=

m( v 20 + 2EqH m -v0 )

kqB

．
粒子在無磁場區域做勻速直線運動，故d₂可以取任意值．
答：（1）粒子在磁場區域做勻速圓周運動的軌道半徑為

2mEh qB2

．
（2）粒子從開始釋放經磁場后第一次回到x軸需要的時間為

2mh qE

+

πm

qB

+

2md2

2mEqh-B2 q2d 21

，位置坐標為2

2mEh qB2

+

2d1d2

2mEh qB2 - d 21

．
（3）若粒子從y軸上坐標為H處以初速度v₀沿x軸正方向水平射出，此后運動中最遠能到達第k個磁場區域的下邊緣，并再次返回到x軸，d₁的值為

m( v 20 + 2EqH m -v0 )

kqB

，d₂可以取任意值．