Question

如圖所示，半徑R=1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內，軌道的一個端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ=37°，另一端點C為軌道的最低點．C點右側的水平路面上緊挨C點放置一木板，木板質量M=2kg，上表面與C點等高．質量m=1kg的物塊（可視為質點）從空中A點以v₀=1.2m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進入軌道．已知物塊與木板間的動摩擦因數μ₁=0.2，木板與路面間的動摩擦因數μ₂=0.08，取g=10m/s²，sin37°=0.6．試求：
（1）物塊經過軌道上的C點時對軌道的壓力大小；
（2）若物塊剛好滑到木板的中點停止，求木板的長度．

Answer 1

（1）設物塊在B點的速度大小為v₁，由平拋運動有 v₁=

v0

sin37°

=

1.2

0.6

m/s=2m/s，
物塊B到C，機械能守恒，則有：

1

2

m

v

21

+mgR（1+sin37°）=

1

2

m

v

2C

在C點有：F_N-mg=m

v 2C

R

聯立解得：v_C=6m/s，F_N=46N
由牛頓第三定律有在C點時物塊對軌道的壓力大小為F_N′=F_N=46N
（2）物塊滑上木塊后，由于物塊對木板的滑動摩擦力大小 f=μ₁mg=0.2×1×10N=2N，木板所受的地面的最大靜摩擦力大小 f_m=μ₂（M+m）g=0.08×（1+2）×10N=2.4N，所以f＜f_m，因而木板保持靜止．
物塊在木板上滑動時，對于物塊：
μ₁mg=ma，a=μ₁g=0.2×10m/s²=2m/s²；
由運動學公式得：

L

2

=

v 2C

2a

聯立解得木板長度：L=

v 2C

a

=

62

2

m=18m
答：
（1）物塊經過軌道上的C點時對軌道的壓力大小為46N；
（2）木板的長度為18m．