Question

（2010?連云港二模）如圖所示，光滑圓弧軌道與光滑斜面在B點平滑連接，圓弧半徑為R=0.4m，一半徑很小、質量為m=0.2kg的小球從光滑斜面上A點由靜止釋放，恰好能通過圓弧軌道最高點D．求：
（1）小球最初自由釋放位置A離最低點C的高度h；
（2）小球運動到C點時對軌道的壓力N的大小；
（3）若斜面傾斜角與圖中θ相等，均為53°，小球從離開D點至第一次落回到斜面上運動了多長時間？

Answer 1

分析：（1）小球恰好能通過圓弧軌道最高點D，說明此時恰好是物體的重力作為向心力，由向心力的公式可以求得在D點的速度大小，從A到D的過程中，物體的機械能守恒，從而可以求得小球釋放時離最低點的高度．
（2）在C點時，對物體受力分析，重力和支持力的合力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛頓第三定律可以知道對軌道壓力的大小．
（3）離開D點小球做平拋運動，根據水平方向的勻速直線運動，豎直方向上的自由落體運動可以求得小球運動的時間．

解答：解：（1）在D點時，設小球的速度為v_D，
  mg=m

V 2 D

R

 
∴v_D=2m/s
由A運動到D點，由機械能守恒可得
  mg（h-2R）=

1

2

mv_D²
∴h=1m
所以小球最初自由釋放位置A離最低點C的高度h是1m．
（2）由A運動到C點，由機械能守恒可得
  mgh=

1

2

mv_C²
在C點，由牛頓第二定律和向心力公式可得
  F_N-mg=m

V 2 c

R

 
∴F_N=12N
由牛頓第三定律可知，小球運動到C點時對軌道的壓力N的大小是12N．
（3）設撞到斜面上E點離B點的距離為x，飛行時間為t，由平拋運動規律可得
水平方向  Rsin53°+xcos53°=v_Dt
豎直方向  R+Rcos53°-xsin53°=

1

2

gt²
由上面兩式解得  t=

4

15

s≈0.27s．
所以小球從離開D點至第一次落回到斜面上運動的時間是0.27s．

點評：小球的運動過程可以分為三部分，第一段是勻加速直線運動，第二段的機械能守恒，第三段是平拋運動，分析清楚各部分的運動特點，采用相應的規律求解即可．