Question

【題目】如圖所示，一輛質量為M的小車靜止在水平面上，車面上右端點有一可視為質點的滑塊1，水平面上有與車右端相距為4R的固定的光滑圓弧軌道，其圓周半徑為R，圓周E處的切線是豎直的，車上表面與地面平行且與圓弧軌道的末端D等高，在圓弧軌道的最低點D處，有另一個可視為質點的滑塊2，兩滑塊質量均為m．某人由靜止開始推車，當車與圓弧軌道的豎直壁CD碰撞后人即撤去推力并離開小車，車碰后靠著豎直壁靜止但不粘連，滑塊1和滑塊2則發生碰撞，碰后兩滑塊牢牢粘在一起不再分離．車與地面的摩擦不計，滑塊1、2與車面的摩擦系數均為μ，重力加速度為g，滑塊與車面的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力．

（1）若人推車的力是水平方向且大小為，則在人推車的過程中，滑塊1與車是否會發生相對運動？

（2）在（1）的條件下，滑塊1與滑塊2碰前瞬間，滑塊1的速度多大？

（3）若車面的長度為，小車質量M=km，則k的取值在什么范圍內，兩個滑塊最終沒有滑離車面？

Answer 1

【答案】（1）滑塊1與車面之間沒有發生相對滑動．（2）（3）k≤2

【解析】

試題分析：（1）設滑塊1與車不發生相對滑動，它們的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：F=（M+m）a…①

此時滑塊受到的靜摩擦力大小為：f=ma…②

而：…③

由①②③解得： …④

又滑塊1與車面的最大靜摩擦力為：fm=μmg…⑤

顯然f＜fm，說明滑塊1與車面之間沒有發生相對滑動．

（2）設滑塊1與滑塊2碰撞前瞬間滑塊1的速度為v，根據動能定理有：

…⑥

聯立③⑥求得：…⑦

（3）設滑塊1和2發生碰撞后的共同速度為v1，由動量守恒定律有：mv=2mv1 …⑧

聯立⑦⑧求得：…⑨

兩滑塊粘合在一起后以v1的速度沖上光滑圓弧軌道，由于圓弧軌道的E處的切線是豎直的，則無論兩滑塊在圓弧軌道上運動，還是從E處豎直向上離開圓弧軌道，最后還是沿著圓弧軌道回到D處，整個過程中兩滑塊的機械能守恒，兩滑塊最終以速度v1沖上車面．

設兩滑塊滑到車的左端時，若滑塊剛好不滑出車面，滑塊和車應有共同的速度設為v2，由系統的動量守恒有：

2mv1=（2m+km）v2，⑩

由系統的能量守恒，有：…

聯立⑨⑩解得：k=2…

所以當k≤2時，兩個滑塊最終沒有滑離小車．