Question

【題目】圖a所示是某型號蛙式打夯機的實物圖，其中A是夯頭，B是支架。在支架的上方有一個轉動軸O，轉軸與旋轉金屬塊C固連在一起，轉軸O通過動力裝置（電動機及皮帶、皮帶輪等）的作用帶動C在豎直平面內轉動。打夯機工作過程中周期性地將夯頭（連同支架）抬高到一定高度然后落下，把地面夯實。我們把實物圖的右邊部分簡化為如圖b所示的物理模型：底座A與支架固連在一起，支架的上方有一轉軸O，軸上固定著一根硬桿，桿的另一端固定一個重球C，C的轉動半徑為r。為了簡化，設A的質量（包括支架）為M, C的質量為m, 其余各部件的質量都忽略不計。已知重球轉動半徑與豎直方向的夾角為θ時，夯頭A開始離開地面。

（1）求夯頭A離地時刻重球C的速率。

（2）忽略打夯機其他部分的牽連和影響，僅以圖b所示的模型計算，從離地時刻算起，經過多長時間，A、C組成的系統的質心上升到最高點？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設夯頭A離地時刻重球C的速率為v，如圖所示。把球的重力正交分解為沿半徑方向及沿切線方向的兩個分力，其中

F1=mgcosθ ①

C所需的向心力由F1及桿的拉力T共同提供，即

②

此時夯頭及支架對地面的壓力剛好減為零，即滿足

Tcosθ=Mg ③

解①②③三式，得 ④

（2）A離地后，圖2所示的模型所組成的系統豎直方向只受重力作用，設到達最高點所用的時間為t，應用動量定理，

（ M+m）gt=mv sinθ ⑤

解④⑤兩式，得