Question

如圖，一內壁光滑的環形細圓管，固定于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的直徑大得多），在圓管中有一個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點），小球的質量為m，設某一時刻小球通過軌道的最低點時對管壁的壓力為5.5mg．此后小球便作圓周運動，求：
（1）小球在最低點時具有的動能；
（2）小球經過半個圓周到達最高點時具有的動能；
（3）在最高點時球對管內壁的作用力大小及方向；
（4）若管內壁粗糙，小球從最低點經過半個圓周恰能到達最高點，則小球此過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：對小球在最低點進行受力分析，由牛頓第二定律列方程可求出該點的速度．
根據動能定理研究從最低點到最高點，求出最高點時具有的動能．
對小球在最高點進行受力分析，由牛頓第二定律列方程可求解球對管內壁的作用力大小及方向．

解答：解：（1）對小球在最低點進行受力分析，由牛頓第二定律得：
F-mg=m

v2

R

所以小球在最低點時具有的動能是

9

4

mgR．
（2）根據動能定理研究從最低點到最高點得：
-mg?2R=

1

2

mv′²-

1

2

mv²
小球經過半個圓周到達最高點時具有的動能是

1

4

mgR
（3）對小球在最高點進行受力分析，由牛頓第二定律得：
mg+F′=m

v′2

R

F′=-

1

2

mg
所以在最高點時管壁對求的彈力向上，大小為

1

2

mg
根據牛頓第三定律得：在最高點時球對管內壁的作用力大小為

1

2

mg，方向為向下．
（4）小球從最低點經過半個圓周恰能到達最高點，說明小球在最高點的速度為0．
根據動能定理研究從最低點到最高點得：
-mg?2R+W=0-

1

2

mv²
W=-

1

4

mgR
所以小球此過程中克服摩擦力所做的功為

1

4

mgR．
答：（1）小球在最低點時具有的動能是

9

4

mgR；
（2）小球經過半個圓周到達最高點時具有的動能是

1

4

mgR；
（3）在最高點時球對管內壁的作用力大小為

1

2

mg，方向為向下．
（4）小球此過程中克服摩擦力所做的功是

1

4

mgR．

點評：本題考查了：圓周運動、牛頓第二定律、動能定理牛頓第三定律，考查內容較多；
理解恰能到達最高點的物理含義．