Question

（2007?海淀區模擬）如圖所示，在距水平地面一定高度處以初速度v₀水平拋出一個質量為m、電荷量為Q的帶正電的小球．當周圍不存在電場和磁場時，小球的落地點與拋出點之間有相應的一段水平距離（即射程）．
（1）若在此空間加上一個豎直方向的勻強電場使小球的射程增加為原來的2倍，試求此電場的電場強度．
（2）若除存在上述電場外，還存在一個與v₀方向垂直的水平方向勻強磁場，使小球拋出后恰好能做勻速直線運動．試求此勻強磁場的磁感應強度．
（3）若在空間存在上述的電場和磁場，而將帶電小球的初速度大小變為v=v₀/2（方向不變），且小球并沒有落至地面，試說明小球運動過程中動能最大時的速度方向．

Answer 1

分析：（1）將小球的運動分解為水平方向和豎直方向去研究，在水平方向上不受力，做勻速直線運動，在豎直方向上受重力和電場力，做初速度為0的勻加速直線運動．
（2）加磁場后，小球受重力、電場力、洛侖茲力三力平衡．由于電場力與重力平衡，由平衡條件列式求磁感應強度．
（3）通過分析小球的運動情況來確定．由于帶電小球的運動速度變小，洛侖茲力變小，小球將運動至拋出點的下方．但由于洛侖茲力對小球不做功，只有重力和電場力對小球做功，小球向拋出點下方運動，重力和電場力的合力做正功，小球的動能增加．當小球運動到拋出點下方最低點時，動能最大．

解答：解：（1）當沒有加電場時，設小球在空中的運動時間為t，拋出點離地面的高度為h，射程為s．小球做平拋運動，則有：
  s=v₀t
  h=

1

2

gt²
加電場后，射程s′=2s，設下落的時間為t′，下落的加速度大小為a，因此有
  2s=v₀t′
  h=

1

2

at′²
解得 a=

g

4

設所加電場的電場強度為E，根據牛頓第二定律有：mg-EQ=

mg

4

解得 E=

3mg

4Q

由運動情況可判斷出，方向豎直向上
（2）加磁場后，小球受重力、電場力、洛侖茲力三力平衡．則應有
  mg=EQ+Qv₀B
解得 B=

mg

4Qv0

根據左手定則，磁場的方向垂直紙面向里
（3）由于帶電小球的運動速度變小，洛侖茲力變小，小球將運動至拋出點的下方．但由于洛侖茲力對小球不做功，只有重力和電場力對小球做功，小球向拋出點下方運動，重力和電場力的合力做正功，小球的動能增加．當小球運動到拋出點下方最低點時，動能最大．
小球運動到最低點時，沿豎直方向的分速度為零，所以此時的速度方向一定沿水平方向向右．
答：
（1）電場的電場強度為

3mg

4Q

．
（2）勻強磁場的磁感應強度為

mg

4Qv0

．
（3）小球運動過程中動能最大時的速度方向一定沿水平方向向右．

點評：本題是平拋運動和類平拋運動的綜合，要根據物體受力情況，分析物體的運動情況，采用運動的分解進行研究．