Question

如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點，求：

(1)推力對小球所做的功．

(2)x取何值時，完成上述運動所做的功最少？最小功為多少？

(3)x取何值時，完成上述運動用力最小？最小力為多少？

Answer 1

答案：
解析：

解．(1)質點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點，設質點在C點的速度為v０，質點從C點運動到A點所用的時間為t，在水平方向x＝v0t　①　(2分) 　　豎直方向上2R＝gt2　②　(2分) 　　解①②式有v0＝　③　(1分) 　　對質點從A到C由動能定理有WF－mg·2R＝mv02　(3分) 　　解得WF＝mg(16R2＋x2)/8R　④　(1分) 　　(2)要使F力做功最少，確定x的取值，由WF＝2mgR＋mv02知，只要質點在C點速度最小，則功WF就最小，就是物理極值．(1分) 　　若質點恰好能通過C點，其在C點最小速度為v，由牛頓第二定律有 　　mg＝，則v＝　⑤　(3分) 　　由③⑤式有，解得x＝2R時，　(1分) 　　WF最小，最小的功WF＝mgR．　(1分) 　　(3)由④式WF＝mg()　(1分) 　　而F＝mg()　(1分) 　　因＞0，x＞0，由極值不等式有：當時，即x＝4R時＝8，　(2分)　最小的力F＝mg．(1分)