Question

如圖，ABD為豎直平面內的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R=0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點，整個軌道處在豎直向下的勻強電場中，場強大小E=5.0×10³V/m．一不帶電的絕緣小球甲，以速度υ₀沿水平軌道向右運動，與靜止在B點帶正電的小球乙發生彈性碰撞．已知乙球的質量為m=1.0×10^-2kg，乙所帶電荷量q=2.0×10^-5C，甲球質量為乙球質量的k倍，g取10m/s²．（水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質點，整個運動過程無電荷轉移）
（1）若k=1，且甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，求甲的速度υ₀；
（2）若k＞1，且甲仍以（1）中的速度υ₀向右運動，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）由于兩個球發生的是彈性碰撞，所以動量守恒，機械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v₀；
（2）對乙受力分析，乙離開最高點之后，做類平拋運動，豎直方向上勻加速運動，水平方向上勻速運動；乙求經過D點后的最小的速度應該是v_D，再由動量守恒分析可得最大的速度，根據平拋運動水平方向的運動規律，可以求得范圍的大小．

解答：解：（1）在乙恰能通過軌道的最高點的情況下，設乙到達最高點的速度為v_D，乙離開D點到達水平軌道的時間為t，乙的落點到B點的距離為x，則
m

v 2 D

R

=mg+qE               ①
設碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，
根據動量守恒有：
  kmv₀=kmv_甲+mv_乙             ②

1

2

km

v

2 0

=

1

2

km

v

2 甲

+

1

2

m

v

2 乙

       ③
聯立②③得：v乙=

2k

k+1

v0        ④
由k=1，則v_乙=v₀
由動能定理得：-mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 乙

    ⑤
 聯立①④⑤得：v0=

5(mg+qE)R m

=2

5

m/s    ⑥
（2）甲、乙完全彈性碰撞，碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，由②③得
解得v乙=

2k

k+1

v0   ⑦
又k＞1，則v₀＜v_乙＜2v₀       ⑧
設乙球過D點的速度為v_D′，由動能定理得
mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 乙

        ⑨
解得：2m/s＜v_D′＜8m/s  ⑩
設乙在水平軌道上的落點到B點的距離為x′，則有：
x′=v_D′t       
2R=

1

2

(

mg+qE

m

)t2                   
聯立解得：0.4m≤x'＜1.6m
答：（1）甲的速度是v0=2

5

m/s；
（2）乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍是0.4m≤x′＜1.6m．

點評：在本題中物體不僅受重力的作用，還有電場力，在解題的過程中，一定要分析清楚物體的受力和運動過程，兩球在碰撞過程中動量守恒，碰后機械能守恒，題目中物體的運動過程比較復雜，在解題是一定分析清楚運動過程．