Question

【題目】物理學中，力與運動關系密切，而力的空間積累效果——做功，又是能量轉化的量度。因此我們研究某些運動時，可以先分析研究對象的受力特點，進而分析其能量問題。已知重力加速度為，且在下列情境中，均不計空氣阻力。

（1）勁度系數為的輕質彈簧上端固定，下端連一可視為質點的小物塊，若以小物塊的平衡位置為坐標原點，以豎直向下為正方向建立坐標軸，如圖所示，用表示小物塊由平衡位置向下發生的位移。求小物塊的合力與的關系式，并據此說明小物塊的運動是否為簡諧運動；

（2）系統的總勢能為重力勢能與彈性勢能之和。請你結合小物塊的受力特點和求解變力功的基本方法，以平衡位置為系統總勢能的零勢能參考點，推到小物塊振動位移為時系統總勢能的表達式。

（3）如圖所示為理想單擺，擺角最夠小，可認為是簡寫運動。其平衡位置記為點。若已知擺球的質量為，擺長為，在偏角很小時，擺球對于點的位移的大小與角對應的弧長、弦長都近似相等，即近似滿足：。請推導得出小球在任意位置處的回復力與位移的比例常數的表達式。

Answer 1

【答案】(1) 小物塊的運動是簡諧運動(2)(3)推導見解析，

【解析】

(1)設小物塊位于平衡位置時彈簧的伸長量為x0，有

當小物塊相對于平衡位置的向下位移為x時，受彈力FT和重力G作用，如左圖所示，合力

解得

即合力與位移大小成正比，方向相反，說明小物塊的運動是簡諧運動；

(2)合力F與位移x關系圖線如圖所示。由圖可知物塊由平衡位置到位移為x處的運動過程中合力F做的功

由動能定理有

依據機械能守恒定律有

得

以平衡位置為零勢能參考點，則

(3)擺球位移為x'處，受力示意圖見圖所示：

以O'為原點，以水平向右的方向為x軸的正方向建立坐標系，在擺角很小時

在擺球位移為x'時，回復力為

比例常數為