Question

某同學玩“彈珠游戲”裝置如圖所示，S形管道BC由兩個半徑為R的

1

4

圓形管道拼接而成，管道內直徑略大于小球直徑，且遠小于R，忽略一切摩擦，用質量為m的小球將彈簧壓縮到A位置，由靜止釋放，小球到達管道最高點C時對管道恰好無作用力，求：
（1）小球到達最高點C的速度大小；
（2）若改用同樣大小質量為2m的小球做游戲，其它條件不變，求小球能到達的最大高度；
（3）若改用同樣大小質量為

m

4

的小球做游戲，其它條件不變，求小球落地點到B點的距離．

Answer 1

（1）由于小球到達管道最高點C時對管道恰好無作用力，根據牛頓第二定律和向心力公式有：mg=m

v 2C

R

，
解得小球到達最高點C的速度大小為：v_C=

gR

（2）由于忽略一切摩擦，因此小球與彈簧組成的系統機械能守恒，因此根據機械能守恒定律可知，彈簧彈性勢能為：E_p=

1

2

mv

2C

+2mgR=

5

2

mgR
改用質量為2m的小球時，因為E_p=

5

2

mgR＜4mgR，所以小球不能到達C點，設此時小球能到達的最大高度為h，根據機械能守恒定律有：
E_p=2mgh，
解得：h=

5

4

R
（3）改用質量為

m

4

的小球時，小球能通過最高點C后做平拋運動，設此時離開C點的速度為v，根據機械能守恒定律有：
E_p=

1

2

?

m

4

v+

1

2

mgR
根據平拋運動的規律可知，此時小球離開C點后做平拋運動的水平射程：x=v

4R g

聯立以上各式解得：x=8R
根據圖中幾何關系可知，小球落地點到B點的距離為：d=x+2R=10R
答：（1）小球到達最高點C的速度大小為

gR

；
（2）小球能到達的最大高度為

5

4

R；
（3）小球落地點到B點的距離為10R．