Question

【題目】絕緣水平面上固定有兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，如圖所示，導(dǎo)軌間距為l，電阻不計(jì)。左側(cè)接有定值電阻R．質(zhì)量為m的導(dǎo)體桿，以初速度v0沿導(dǎo)軌滑行，在滑行過(guò)程中始終保持與軌道垂直且接觸良好，導(dǎo)體桿接在導(dǎo)軌間的電阻為r．整個(gè)裝置處于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。宏觀規(guī)律與微觀規(guī)律有很多相似之處，導(dǎo)體桿速度的減小規(guī)律類似于放射性元素的半衰期，理論上它將經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間衰減完有限的速度。

（1）求在桿的速度從v0減小到的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量和通過(guò)電阻R的電荷量。

（2）證明桿的速度每減小一半所用的時(shí)間都相等。

（3）若桿的動(dòng)能減小一半所用時(shí)間為t0，則桿的動(dòng)量減小一半所用的時(shí)間是多少?

Answer 1

【答案】(1)；(2)由動(dòng)量定理即可證明；(3)

【解析】

（1）a.設(shè)電路產(chǎn)熱為Q，由能量守恒：

串聯(lián)電路中，產(chǎn)熱與電阻成正比，可得：

解得電阻R產(chǎn)熱為：

b.設(shè)該過(guò)程所用時(shí)間為t，由動(dòng)量定理：

其中：

解得通過(guò)R的電量為：

（2）某時(shí)刻桿的速度為v（從v0開始分析亦可），則

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：

感應(yīng)電流：

安培力：

在很短時(shí)間內(nèi)，由動(dòng)量定理得： （為速度變化量的絕對(duì)值）

于是得：

所以在任意短時(shí)間內(nèi)速度變化的比例為：

由于為定值，所以任何相等時(shí)間內(nèi)速度變化的比例都相等。

所以從任何時(shí)刻開始計(jì)算，速度減小一半所用時(shí)間都相等。

（3）動(dòng)能減小一半，速度v減小為

由（2）中分析可得，速度從再減小到所用時(shí)間仍為

所以速度減小一半所用時(shí)間為，動(dòng)量減小一半所用時(shí)間也為。