Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內固定有兩個很靠近的同心圓軌道，外圓光滑，內圓粗糙．一質量為m的小球從軌道的最低點以初速度v0向右運動，球的直徑略小于兩圓間距，球運動的軌道半徑為R，不計空氣阻力．設小球過最低點時重力勢能為零，下列說法正確的是（ ）

A. 小球在同心圓軌道內運動過程中，機械能一定減小

B. 若經過足夠長時間，小球最終的機械能可能為

C. 若小球在運動過程中機械能守恒，則v0一定不小于

D. 若小球第一次運動到最高點時速度大小為0，則v0一定大于

Answer 1

【答案】BD

【解析】若小球在最低點的速度較小，當小球只在過圓心的水平線以下運動，則小球只于外軌接觸，此時小球的機械能守恒，選項A錯誤；若初速度v0比較小，小球在運動過程中一定與內圓接觸，機械能不斷減少，經過足夠長時間，小球最終可能在圓心下方做往復運動，最高點與圓心等高，機械能為mgR，故B正確．若使小球始終做完整的圓周運動，小球應沿外圓運動，在運動過程中不受摩擦力，機械能守恒，小球恰好運動到最高點時速度設為v，則有

由機械能守恒定律得： mv02=mg2R+mv2，小球在最低點時的最小速度v0=，所以若使小球始終做完整的圓周運動，則v0一定不小于，若小球只在過圓心的水平線以下運動，則mv02=mgR，解得 ，則若小球在運動過程中機械能守恒，小球在最低點的速度應小于等于，或者大于等于，故C錯誤．如果內圓光滑，小球在運動過程中不受摩擦力，小球在運動過程中機械能守恒，如果小球運動到最高點時速度為0，由機械能守恒定律得： mv02=mg2R，小球在最低點時的速度為 v0=，由于內圓粗糙，小球在運動過程中要克服摩擦力做功，則小球在最低點時的速度v0一定大于，故D正確．故選BD.