Question

圖示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O的運行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學家觀測得到A行星的運行軌道半徑為R₀，周期為T₀
（1）中央恒星O的質量是多大？
（2）長期觀測發現A行星每隔t₀時間其運行軌道便會偏離理論軌道少許，天文學家認為出現這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B（假設其運行的圓軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同）．根據上述現象和假設，試估箅未知行星B的運動周期和軌道半徑．

Answer 1

（1）設中央恒星質量為M，A行星質量為m，
由萬有引力提供向心力得：G

Mm

R 20

=m

4π2

T 20

R0
解得：M=

4π2 R 30

G T 20

故中央恒星O的質量為

4π2 R 30

G T 20

．
（2）由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間t₀發生一次最大的偏離，說明A、B相距最近，設B行星的周期為T，則有：
(

2π

T0

-

2π

T

)t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

據開普勒第三定律：

R3

R 30

=

T2

T 20

得：R=

3	( t0 t0-T0 )2

R₀
故未知行星B的運動周期為

t0T0

t0-T0

，軌道半徑為

3	( t0 t0-T0 )2

R₀．