Question

（2009?湖北模擬）圖示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O的運行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學家觀測得到A行星的運行軌道半徑為R₀，周期為T₀
（1）中央恒星O的質量是多大？
（2）長期觀測發現A行星每隔t₀時間其運行軌道便會偏離理論軌道少許，天文學家認為出現這種現象的原因可能是A行星外側還存在著一顆未知的行星B（假設其運行的圓軌道與A在同一平面內，且與A的繞行方向相同）．根據上述現象和假設，試估箅未知行星B的運動周期和軌道半徑．

Answer 1

分析：（1）研究行星繞恒星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達式，再根據已知量解出恒星質量；
（2）先根據多轉動一圈時間為t₀，求出衛星的周期；然后再根據開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答：解：（1）設中央恒星質量為M，A行星質量為m，
由萬有引力提供向心力得：G

Mm

R 2 0

=m

4π2

T 2 0

R0
解得：M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

故中央恒星O的質量為

4π2 R 3 0

G T 2 0

．
（2）由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔時間t₀發生一次最大的偏離，說明A、B相距最近，設B行星的周期為T，則有：
(

2π

T0

-

2π

T

)t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

據開普勒第三定律：

R3

R 3 0

=

T2

T 2 0

得：R=

3	( t0 t0-T0 )2

R₀
故未知行星B的運動周期為

t0T0

t0-T0

，軌道半徑為

3	( t0 t0-T0 )2

R₀．

點評：從本題可以看出，通過測量環繞天體的軌道半徑和公轉周期，可以求出中心天體的質量．