Question

（2011?福建模擬）如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，x＜0的區(qū)域空間存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，x＞0的區(qū)域空間存在著電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=

2 2 mv 2 0

qL

、方向未知的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的微粒（重力不計(jì)），自坐標(biāo)原點(diǎn)O以初速度v₀沿與x軸負(fù)方向成45⁰角垂直射入磁場(chǎng)，經(jīng)過y軸上的P（0，-L）點(diǎn)射入電場(chǎng)區(qū)域，微粒進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又經(jīng)P（0，-L）點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)一段時(shí)間后微粒再次離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向；
（2）帶電微粒自原點(diǎn)射出，離開原點(diǎn)后第四次過y軸時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，由幾何關(guān)系求出做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式求出磁場(chǎng)強(qiáng)度，由于微粒進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又經(jīng)P（0，-L）點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，這說明微粒進(jìn)入電場(chǎng)后所受電場(chǎng)力的方向與它進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向相反，即電場(chǎng)的方向與_y軸（或x軸）正方向的夾角為45°．
（2）微粒第二次過P點(diǎn)速度方向與第一次過P點(diǎn)時(shí)相反，與-y方向的夾角為45°，微粒第三次過Y軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與+x方向夾45°斜向右下方，恰好沿垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)（如圖所示），根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間與周期的關(guān)系及平拋運(yùn)動(dòng)基本公式即可求得總時(shí)間．

解答：解：（1）粒子從O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到P的軌跡如答圖中的實(shí)線所示．
由幾何關(guān)系知：R=Lcos45°    
又Bqv₀=m

v02

R

  
解得：B=

2 mv0

qL

    
由于微粒進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又經(jīng)P（0，-L）點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，這說明微粒進(jìn)入電場(chǎng)后所受電場(chǎng)力的方向與它進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向相反，即電場(chǎng)的方向與_y軸（或x軸）正方向的夾角為45°．
（2）微粒第二次過P點(diǎn)速度方向與第一次過P點(diǎn)時(shí)相反，與-y方向的夾角為45°，微粒第三次過Y軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與+x方向夾45°斜向右下方，恰好沿垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)（如圖所示）．那么：
O→P過程的時(shí)間t₁=

3

4

×

2πR

v0

=

3 2 πL

4v0

   
微粒在電場(chǎng)中減速和反向回到磁場(chǎng)的時(shí)間t₂=2×

mv0

Eq

=

2 L

2v0

         
P→O′過程的時(shí)間t₃=

1

4

×

2πR

v0

=

2 πL

4v0

      
在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，建如答圖中的x′O′y′的坐標(biāo)系，那么：
x′=v₀t₄    y′=

1

2

at42=

Eqt42

2m

由于粒子過y軸又有x′=y′
代入值解得：t₄=

2 L

2v0

                                     
故所求的總時(shí)間t=t₁+t₂+t₃+t₄=

2 L

v0

+

2 πL

v0

=

2 L

v0

(1+π)
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

2 mv0

qL

，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向?yàn)榕c_y軸（或x軸）正方向的夾角為45°；
（2）帶電微粒自原點(diǎn)射出，離開原點(diǎn)后第四次過y軸時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為

2 L

v0

(1+π)．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子垂直射入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．