Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域上邊界剛好與直線y=a重合，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一個(gè)帶正電的離子在坐標(biāo)為（a，0）的A點(diǎn)以某一速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正向夾角為30°，離子質(zhì)量為m，帶電量為q。不計(jì)離子重力。

（1）若離子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)位置坐標(biāo)為（a，a ）的C點(diǎn)，求離子運(yùn)動(dòng)的速度大小？
（2）當(dāng)離子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度滿足什么條件時(shí)可使離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)？并求出最長(zhǎng)時(shí)間是多少？

Answer 1

（1）（2）  

解析試題分析：(1)若離子從y軸離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，

由幾何關(guān)系得軌跡半徑為
又離子在磁場(chǎng)中
得 
（2）離子在磁場(chǎng)中    得
運(yùn)動(dòng)的周期為            聯(lián)立得 
若為離子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，則離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

則離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與離子的速度大小無(wú)關(guān)，與軌跡的圓心角有關(guān)。如圖2，

只有當(dāng)離子從x軸離開(kāi)磁場(chǎng)（即離子既不從磁場(chǎng)的上邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，也不從y軸離開(kāi)磁場(chǎng)）時(shí)，離子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角最大。由幾何關(guān)系，最大圓心角為。
①若離子剛好不能從磁場(chǎng)區(qū)域上邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，則軌跡恰好與上邊界相切，如圖3，由幾何關(guān)系
得，其軌跡半徑為
②若離子剛好不能從y軸離開(kāi)磁場(chǎng)，則軌跡與y軸相切，如圖4，由幾何關(guān)系R₂+R₂sin30°=a得，其軌跡半徑為R₂=
綜上所述，要使離子從x軸離開(kāi)磁場(chǎng)，則其軌跡半徑必須滿足R＜R₁，且R＜R₂，即R＜
即要使離子能在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則離子運(yùn)動(dòng)的速度必須滿足

運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為t=
考點(diǎn)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)