Question

【題目】如圖甲所示，一長(zhǎng)為l=1m的輕繩，一端穿在過(guò)O點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球，整個(gè)裝置繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。給系統(tǒng)輸入能量，使小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度不斷加快，通過(guò)傳感器測(cè)得小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球的拉力F與小球在最高點(diǎn)動(dòng)能Ek的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度為g，不考慮摩擦和空氣阻力，請(qǐng)分析并回答以下問(wèn)題：

(1)若要小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球過(guò)最高點(diǎn)的速度有何要求？（用題中給出的字母表示）。

(2)請(qǐng)根據(jù)題目及圖像中的條件求出小球質(zhì)量m的值。（g取10m/s2）

(3)求小球從圖中a點(diǎn)所示狀態(tài)到圖中b點(diǎn)所示狀態(tài)的過(guò)程中，外界對(duì)此系統(tǒng)做的功。

(4)當(dāng)小球達(dá)到圖乙中b點(diǎn)所示狀態(tài)時(shí)，立刻停止能量輸入。之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在繩中拉力達(dá)到最大值的位置，輕繩繃斷，求繃斷瞬間繩中拉力的大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】試題分析：（1）小球剛好通過(guò)最高點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)要求在最高點(diǎn)受力滿足：

因此小球過(guò)最高點(diǎn)的速度要滿足：。

（2）小球在最高點(diǎn)時(shí)有：又因?yàn)椋?/span>，

所以繩對(duì)小球的拉力F與小球在最高點(diǎn)動(dòng)能Ek的關(guān)系式為：

由圖像知，當(dāng)時(shí)，，代入上式得到：；又已知，則小球的質(zhì)量。

（3）由知：圖線的斜率值為，因此對(duì)應(yīng)狀態(tài)b，，可求出小球在最高點(diǎn)的動(dòng)能，由，得到：。

（或：由，將、、代入，可求得：）

對(duì)小球從狀態(tài)a到狀態(tài)b的過(guò)程，有：外界對(duì)系統(tǒng)做的功為。

（4）在停止能量輸入之后，小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩中拉力達(dá)到最大值。

設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為v，對(duì)從b狀態(tài)開(kāi)始至達(dá)到最低點(diǎn)的過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有：；

設(shè)在最低點(diǎn)繩中拉力為Fm，由牛頓第二定律有：

兩式聯(lián)立解得：。

即繃斷瞬間繩中拉力的大小為。