Question

【題目】如圖所示，一勁度系數為k的輕彈簧的上端固定，下端與小球相連接，小球的質量為m，小球靜止于O點。現將小球拉到O點下方距離為A的位置，由靜止釋放，此后運動過程中始終未超過彈簧的彈性限度。規定平衡位置處為重力勢能和彈簧彈性勢能的零點。以平衡位置O為坐標原點建立如圖所示的豎直向下的一維坐標系Ox．忽略空氣阻力的影響。

（1）從運動與相互作用觀點出發，解決以下問題：

a．求小球處于平衡狀態時彈簧相對原長的伸長量s；

b．證明小球做簡諧運動；

（2）從教科書中我們明白了由v﹣t圖象求直線運動位移的思想和方法；從機械能的學習，我們理解了重力做功的特點并進而引入重力勢能，由此可以得到重力做功與重力勢能變化量之間的關系。圖象法和比較法是研究物理問題的重要方法，請你借鑒此方法，從功與能量的觀點出發，解決以下問題：

a．小球運動過程中，小球相對平衡位置的位移為x時，證明系統具有的重力勢能和彈性勢能的總和Ep的表達式為；

b．求小球在振動過程中，運動到平衡位置O點下方距離為時的動能Ek．并根據小球運動過程中速度v與相對平衡位置的位移x的關系式，畫出小球運動的全過程中速度隨振動位移變化的v﹣x圖象。

Answer 1

【答案】（1）a．；b．見解析。（2）a．見解析。b．；

【解析】

（1）a．對小球，由平衡條件mg＝ks。

b．設小球偏離平衡位置x時的回復力為F回＝mg﹣k（s+x）＝﹣kx，故小球做簡諧運動。

（2）a．重力勢能EpG＝﹣mgx

以平衡位置處彈性勢能為0，從平衡位置（彈簧伸長量為s）到坐標為x處（彈簧伸長量為s+x），根據彈簧彈力特點做出F﹣x圖線如圖，彈簧彈力做功為

設x坐標處的彈性勢能為，由彈力做功與彈性勢能變化量的關系可知，即

得

重力勢能和彈性勢能的總和 。

b．小球在運動到平衡位置O點下方距離為時的勢能

小球在振幅處的動能為零，依據能量守恒定律有

可得，

由能量守恒定律，即，也即，

整理得：

故v﹣x圖是橢圓。