Question

如圖所示，A、B、C是三個完全相同的物塊，質量均為m，其中物塊A、B用輕彈簧相連，將它們豎直放在水平地面上處于靜止狀態，此時彈簧的壓縮量為x₀。已知重力加速度為g，物塊的厚度及空氣阻力均可忽略不計，且在下面所述的各過程中彈簧形變始終在彈性限度內。

小題1:若用力將物塊A豎直向上緩慢提起，使物塊B恰好能離開水平地面，求此過程中物塊A被提起的高度。
小題2:如果使物塊C從距物塊A高3x₀處自由落下，C與A相碰后，立即與A粘在一起不再分開，它們運動到最低點后又向上彈起，物塊A剛好能回到使彈簧恢復為原長的位置。求C與A相碰前彈簧的彈性勢能大小。
小題3:如果將物塊C從距物塊A上方某處由靜止釋放， C與A相碰后立即一起向下運動但并不粘連。此后物塊A、C在彈起過程中分離，其中物塊C運動到最高點時被某裝置接收，而物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡諧運動。求物塊C的釋放位置與接收位置間的距離。

Answer 1

小題1:L= x₀+ x₁=2x₀ 
小題2:E_p=mgx₀
小題3:6.5x₀

（1）設彈簧勁度系數為k，物塊A、B用輕彈簧相連接，豎直放置時，彈簧被壓縮，A處于平衡狀態，此時彈簧壓縮量  x₀=mg/k
緩慢提起A到B將要離開水平地面時彈簧伸長x₁，此時物塊B所受重力和彈力平衡，所以彈簧伸長量  x₁="mg/k=" x₀   
物塊A向上提起的高度     L= x₀+ x₁=2x₀    
（2）設C自由落下到與A相碰前的速度為v₁，由機械能守恒定律有
mg·3x₀=mv₁²
設C與A相碰后一起向下運動的初速度為v₂，根據動量守恒定律有
mv₁=2mv₂  
設C與A相碰前彈簧的彈性勢能為E_p。 物塊A、C運動到最低點后又向上彈起，剛好能回到使彈簧恢復為原長的位置過程中，A、C與彈簧組成的系統機械能守恒，有
2mv₂²+E_p=2mgx₀ 
聯立以上各式，解得：E_p=mgx₀
說明：另一解法是直接運用彈性勢能公式：　mg=kx₀，k=mg/x₀，則E_p=kx₀=mgx₀
這種解法同樣得4分。
（3）設物塊C釋放位置到物塊A的高度差為h₀，與物塊A碰撞前速度為v₃，由機械能守恒定律有：
設C與A相碰后一起向下運動的初速度為v₄，根據動量守恒定律有
mv₃=2mv₄
物塊A、C一起向下壓縮彈簧后向上彈起，到達彈簧原長時C與A分離，設分離時的速度為v₅，對此過程由機械能守恒定律有
2mv₄²+E_p=2mgx₀+2mv₅²
之后，物塊C向上做勻減速運動，設上升的高度為h，則根據機械能守恒定律有
mv₅²=mgh，  解得 
因物塊A剛好能在物塊B不離開地面的情況下做簡諧運動，結合第（1）問可知，物塊A運動到最高點時，彈簧形變量為x₀。所以物塊A運動到最高點時彈簧的彈性勢能與物塊A處于靜止狀態時彈簧的彈性勢能相等。
所以對物塊A從彈簧恢復原長位置運動到最高點過程中，由機械能守恒定律有
mv₅²=mgx₀+E_p
聯立以上各式，解得：h₀=9x₀，h=1.5x₀。
由幾何關系可知，物塊C的釋放位置與接收位置間的距離
Δh=h₀-x₀-h=6.5x₀