Question

如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ與水平面成θ=30°角放置，一個磁感應強度B=1.00T的勻強磁場垂直穿過導軌平面，導軌上端M與P間連接阻值為R=0.30Ω的電阻，長L=0.40m、電阻r=0.10Ω的金屬棒ab與MP等寬緊貼在導軌上，現使金屬棒ab由靜止開始下滑，其下滑距離與時間的關系如下表所示，導軌電阻不計，g=10m/s²

時間t（s）	0	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70
下滑距離x（m）	0	0.02	0.08	0.17	0.27	0.37	0.47	0.57

求：（1）在0.4s時間內，通過金屬棒ab截面的電荷量
（2）金屬棒的質量
（3）在0.7s時間內，整個回路產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律，求出感應電動勢的平均值，由電量與電流的關系式q=

.

I

△t求解在0.4s時間內，通過金屬棒ab截面的電荷量．
（2）根據數據可知，勻速直線運動的時間，從而求出勻速運動的速度，結合安培力的表達式，閉合電路歐姆定律與感應電動勢的表達式，即可求解金屬棒的質量；
（3）根據棒在下滑過程中，克服安培力做的功等于回路的焦耳熱，由能量轉化與守恒定律，即可求解在0.7s時間內，整個回路產生的熱量．

解答：解：（1）根據法拉第電磁感應定律得：感應電動勢的平均值

.

E

=

△Φ

△t

=

BL?x

△t

感應電流的平均值

.

I

=

. E

r+R

電荷量 q=

.

I

?△t=

BLx

R+r

由表中數據可知  x=0.27m
∴q=

BLx

R+r

=

1×0.4×0.27

0.3+0.1

C=0.27C；
（2）由表中數據可知，0.3s后棒作勻速運動的速度為：v=

△x

△t

=

0.1

0.1

=1m/s
  由mgsinθ-F=0；
安培力表達式：F=BIL；
由閉合電路歐姆定律得：I=

E

R+r

；
感應電動勢為：E=BLv；
聯立得，m=

B2L2v

(R+r)gsinθ

=

12×0．42×1

0.4×10×sin30°

=0.08kg；
（3）棒在下滑過程中，有重力和安培力做功，克服安培力做的功等于回路的焦耳熱．則：
  mgsin30°?x₇-Q=

1

2

mv2-0
得：Q=mgsin30°?x₇-

1

2

mv2=0.08×10×0.57×0.5-

1

2

×0.08×12=0.416J
答：
（1）在0.4s時間內，通過金屬棒ab截面的電荷量為0.27C．
（2）金屬棒的質量為0.08C．
（3）在0.7s時間內，整個回路產生的熱量為0.416J．

點評：本題是電磁感應中的力平衡問題，關鍵在于推導感應電荷量和安培力的計算式．并能讀懂表格反映的運動情況．