Question

【題目】如圖，玻璃球冠的折射率為，其底面鍍銀，底面的半徑是球半徑的倍；在過球心O且垂直于底面的平面（紙面）內，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的M點，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的A點。求該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角。

Answer 1

【答案】

【解析】設球半徑為R，球冠底面中心為，連接，則，令

則，即

根據題意MA⊥AB

所以∠OAM=60°

設圖中N點為光線在球冠內底面上的反射點，所考慮的光線的光路圖如圖所示，設光線在M點的入射角為i，折射角為r，在N點的入射角為，反射角為，玻璃折射率為n，由于為等邊三角形，有

i=60°

根據折射定律可得

代入題給條件可得r=30°

作底面在N點的法線NE，由于NE∥AM，有=30°

根據反射定律可得=30°

連接ON，由幾何關系可知，故有

故可得

于是∠ENO為反射角，ON為反射光線，這一反射光線經球面再次折射后不改變方向。所以，經一次反射后射出玻璃球冠的光線相對于入射光線的偏角β為