Question

（2013?寧波二模）某行星自轉周期為T，赤道半徑為R，研究發現若該行星自轉角速度變為原來兩倍將導致該星球赤道上物體將恰好對行星表面沒有壓力，已知萬有引力常量為G，則以下說法中正確的是（　　）

• A．該行星質量為M=

  4π2R3

  GT2

• B．該星球的同步衛星軌道半徑為r=

  3	4

  R
• C．質量為m的物體對行星赤道地面的壓力為FN=

  16mπ2R

  T2

• D．環繞該行星作勻速圓周運動的衛星線速度必不大于7.9km/s

Answer 1

分析：由“該行星自轉角速度變為原來兩倍將導致該星球赤道上物體將恰好對行星表面沒有壓力”可知此時重力充當向心力，赤道上的物體做勻速圓周運動，據此可得該星球的質量．
同步衛星的周期等于該星球的自轉周期，由萬有引力提供向心力的周期表達式可得同步衛星的軌道半徑．
行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，進而可知壓力大小．
7.9km/s是地球的第一宇宙速度．

解答：解：
A、該行星自轉角速度變為原來兩倍，則周期將變為原來的

1

2

，即為

1

2

T，由題意可知此時：G

Mm

R2

=mR

4π2

( 1 2 T)2

，解得：M=

16π2R3

GT2

，故A錯誤；
B、同步衛星的周期等于該星球的自轉周期，由萬有引力提供向心力可得：G

Mm

r2

=mr

4π2

T2

，又：M=

16π2R3

GT2

，解得：r=

3	4

R，故B正確；
C、行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力：mg-FN′=mR

4π2

T2

，又：mg=G

Mm

R2

=mR

4π2

( 1 2 T)2

，解得：FN′=

12mπ2R

T2

，由牛頓第三定律可知質量為m的物體對行星赤道地面的壓力為FN=

16mπ2R

T2

，故C錯誤；
D、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，由于不知道該星球的質量以及半徑與地球質量和半徑的關系，故無法得到該星球的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度的關系，故無法確環繞該行星作勻速圓周運動的衛星線速度是不是必不大于7.9km/s，故D錯誤；
故選：B．

點評：重點知識：行星自轉的時候，地面物體萬有引力等于重力沒錯，但是不是重力全部用來提供向心力，而是重力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物體恰好對行星表面沒有壓力”時重力獨自充當向心力．