Question

有個演示實驗，在上下面都是金屬板的玻璃盒內，放了許多錫箔紙揉成的小球，當上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動．現取以下簡化模型進行定量研究．
如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動勢為ε、內阻可不計的電源相連．設兩板之間只有一個質量為m的導電小球，小球可視為質點．已知：若小球與極板發生碰撞，則碰撞后小球的速度立即變為零，帶電狀態也立即改變，改變后，小球所帶電荷符號與該極板相同，電量為極板電量的α倍（α＜1）．不計帶電小球對極板間勻強電場的影響．重力加速度為g．
（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢ε至少應大于多少？
（2）設上述條件已滿足，在較長的時間間隔T內小球做了很多次往返運動．求在T時間內小球往返運動的次數以及通過電源的總電量．

Answer 1

（1）用Q表示極板電荷量的大小，q表示碰后小球電荷量的大小．要使小球能不停地往返運動，小球所受的向上的電場力至少應大于重力，則
q

?

d

＞mg
其中  q=αQ
又有Q=Cε
由以上三式有  ε＞

mgd aC

；
電動勢至少為

mgd aC

；
（2）當小球帶正電時，小球所受電場力與重力方向相同，向下做加速運動．以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時間，則有
q

?

d

+mg=ma₁
d=

1

2

a₁t₁²
當小球帶負電時，小球所受電場力與重力方向相反，向上做加速運動，以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時間，則有
q

?

d

-mg=ma₂
d=

1

2

a₂t₂²
小球往返一次共用時間為（t₁+t₂），故小球在T時間內往返的次數
n=

T

t1+t2

由以上關系式得n=

T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

小球往返一次通過的電量為2q，
在T時間內通過電源的總電量Q'=2qn
由以上兩式可得
Q'=

2aC?T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

；
往返次數為

T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

，T內通過電源的總電量為

2aC?T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

．