Question

如圖甲所示，x方向足夠長的兩個條形區域，其y方向的寬度分別為l₁ = 0.1m和l₂ = 0.2m，兩區域分別分布著磁感應強度為B₁和B₂的磁場，磁場方與xy平面垂直向里，磁感應強度B₂ = 0.1T，B₁隨時間變化的圖象如圖乙所示。現有大量粒子從坐標原點O以恒定速度 v = 2×10⁶ m/s不斷沿y軸正方向射入磁場，已知帶電粒子的電量q = -2×10^-8C，質量m = 4×10^-16 kg, 不考慮磁場變化產生的電場及帶電粒子的重力。求：

（1）在圖乙中0～1s內，哪段時間從O發射的粒子能進入磁感應強度B₂的磁場？

（2）帶電粒子打在磁場上邊界MN上的x坐標范圍是多少？

（3）在MN以下整個磁場區域內，單個帶電粒子運動的最長時間和最短時間分別是多少？

Answer 1

（1）粒子在B₁磁場中運動時間極短，可視這極短時間內的磁場為恒定的勻強磁場，帶電粒子在該磁場中做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律，有

，當r＝l₁時， ，代入數據得

    B₁ = 0.4 T。    ……①        （2分）

由右圖可知，當B₁＝0.4T時，

t＝t′＝0.8s    ……②        （2分） 

因此，0～0.8s時間內B₁的值小于0.4T，粒子運動半徑大于l₁，這段時間從O發射的粒子將進入磁感應強度B₂的區域。

（2）設粒子在B₂磁場中運動的半徑為r₂，當B₁=0時，粒子打在MN上的A₁點為最左邊的點。根據牛頓運動定律得

    ，

代入數據解得 

如右圖幾何關系可知 

A₁點的橫坐標為

x₁ = r₂ –r₂ cosθ₁＝ m    ……③   （3分）

   下圖中，若A₂為最右邊點，則A₂為軌跡與邊界MN的切點。過C₁點作速度方向的垂線，O₁為帶電粒子在磁場B₁中運動的圓心，O₂為在磁場B₂中運動的圓心。由幾何知識可得

，即 θ₂＝30°，

由此可得A₂點的橫坐標x₂為

          

由幾何知識可知此時

解得             ……④      （3分）

（3）粒子軌跡與MN相切時，粒子在磁場中運動軌跡最長，時間也最長。由于粒子在磁場中做勻速圓周運動，且軌跡左右對稱，則粒子在磁場B₁中的運動時間為

                     ……⑤      （1分）    

   粒子在磁場B₂中的運動時間為

             ×10^－7 s     ……⑥    （1分） 

帶電粒子在磁場中運動的最長時間為

                        ……⑦    （2分）

     隨著磁場B₁逐漸增大，帶電粒子在磁場中的運動時間先增大后減小，當B₁達到最大值時，運動半徑為

               

此時帶電粒子在B₁磁場中運動的時間為

                          ……⑧    （2分）

若B₁=0時，帶電粒子在B₁、B₂磁場中運動的總時間為

                

所以帶電粒子在磁場中的最短運動時間為

t₁′＝1.26×10^－7 s           ……⑨     （2分）