Question

【題目】類比法、等效法等都是研究和學習物理過程中常用的重要方法：

(1)簡諧運動是機械振動中最簡單的一種理想化的運動模型。它具有如下特點：①簡諧運動的物體受到的回復力，大小與物體偏離平衡位置的位移 x 成正比，方向與 x 方向相反；②簡諧運動具有周期性。

通過研究發現：如圖甲，擺長為 L、擺球質量為 m 的單擺，在重力場中做小角度擺動時可以看作簡諧振動，其周期為T = 2π，g 為當地重力加速度；

現將該單擺的擺球帶上正電，電量為+q。分別置于豎直向下的勻強電場E（圖乙）、和垂直于紙面向里的勻強磁場 B（圖丙）中，并均做小角度的簡諧運動。已知細線是絕緣的，類比重力場中的單擺周期公式，分析求出該單擺在乙、丙兩圖中振動的周期。

(2)物理中存在“通量”這個物理量，“通量”的定義要用到高等數學知識。在高中階段，對“通量”的定義采用的是簡單化處理方法并輔以形象化物理模型進行理解。

①“磁通量”就是一種常見的“通量”。在高中階段我們是這樣來定義“磁通量”的：設在磁感應強度為B 的勻強磁場中，有一個與磁場方向垂直、面積為 S 的平面，我們把 B 與 S 的乘積叫做穿過這個面積的磁通量（圖1），簡稱磁通，用字母 Φ 表示，則 Φ=BS。

如圖2所示，空間存在水平向右的勻強磁場，磁感應強度大小為 B。一個面積為S 矩形線圈與豎直面間的夾角為θ，試求穿過該矩形線圈的磁通量 Φ。

② “電通量”也是一種常見“通量”。在定義“電通量”時只需要把“磁通量”中的磁感應強度 B 替換為電場強度 E即可。已知靜電力常量為 k，請同學們充分運用類比的方法解決以下問題：

a.如圖 3，空間存在正點電荷Q ，以點電荷為球心作半徑為 R 的球面。試求通過該球面的電通量 ΦE1；

b.上述情況映射的是靜電場中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫侖定律出發得到嚴格證明。“高斯定理”可表述為：通過靜電場中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內所含電荷量 Q 與 4πk 的乘積，即 ΦE=4πkQ；試根據“高斯定理”證明：一個半徑為R的均勻帶電球體（或球殼）在外部產生的電場，與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同，球外各點的電場強度也是 =k （r），式中 r 是球心到該點的距離，為整個球體所帶的電荷量。

Answer 1

【答案】（1），；（2）a.，b.證明見解析

【解析】

(1)圖乙中，擺球受到重力G、電場力F電和擺線拉力T，與重力場中的單擺類比，

等效的“重力”

，

帶入單擺周期公式得

圖丙中，擺球受到重力G、洛倫茲力F洛和擺線拉力T，與重力場中的單擺類比，洛倫茲力始終沿擺線方向，不產生回復力的效果

單擺周期與重力場中相同

(2)①當面積為的矩形線圈與豎直面間的夾角為時，線圈在磁場垂直方投影面積為，磁通量

(2)a.根據點電荷的場強公式，求得球面上各處的電場強度大小為

由于球面上各處電場強度方向都與球面垂直，故通過球面的電通量為

b.證明：過距離球心距離的點作一球面，根據對稱性可知該球面上各點場強大小相等，方向處處球面垂直。設該點的電場強度為，通過該球面的電通量為，則有

由高斯定理知

所以有

化簡得

這就是球心處的點電荷在處產生的場強，證明完畢。