Question

如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里，MN為其左邊界。磁場中有一半徑為R、軸線與磁場平行的金屬圓筒，圓筒的圓心O到MN的距離OO₁=3R，OO₁所在直線與圓筒右側壁交于A點，圓筒通過導線與電阻r₀，連接并接地。現有范圍足夠大的平行電子束以相同的速度從很遠處垂直于MN向右射入磁場區。當金屬圓筒最初不帶電時，發現電子只能射到圓筒上以A點和C點為界的弧ADC上，而AEC弧上各點均不能接收到電子；當圓筒上電荷量達到相對穩定后，通過電阻r₀的電流恒為I。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略運動電子間的相互作用，取大地或無窮遠處電勢為零。求：
（1）在最初圓筒上沒有帶電時，電子射入磁場時的初速度v₀；
（2）電阻r₀中的電流恒定時電阻r₀上端處的電勢φ；
（3）電阻r₀中的電流恒定時電子到達圓筒時速度v的大小和金屬圓筒的發熱功率P。

Answer 1

解：（1）根據題意，電子在磁場中運動的軌道半徑必定是r=4R，如圖所示

由，得
（2）穩定時，圓柱體上電荷不再增加，電阻r₀兩端電壓為U，U=Ir₀
電勢φ=-Ir₀
（3）電子從很遠處射到圓柱表面時速度v滿足
得
電流為I，單位時間到達圓筒的電子數
電子所具有總能量
消耗在電阻上的功率P_r=I²r₀
所以圓筒發熱功率