Question

風能是一種環保型的可再生能源．據勘測，我國利用風力資源至少有2.53×10⁵MW，所以風能是很有開發前途的能源．風力發電是將風的動能通過風力發電機轉化為電能的過程．某風力發電機將傘氣的動能轉化為電能的效率η=20%，空氣密度ρ=1.3kg/m³，其有效受風面積S=20m²．此風力發電機輸出U=250V穩定的直流電壓，用它給如圖11所示的皮帶傳送裝置的電動機（電動機未畫出）供電，輸電線電阻不計．已知皮帶傳送裝置的電動機的額定電壓U_額=250V，允許消耗電功率的最大值P_電m=500W，線圈電阻R=5.0Ω，在該電動機消耗電功率達到最大值的情況下，電動機及皮帶傳送裝置各部分由于摩擦而損耗的功率與皮帶傳送裝置輸出的機械功率之比為1：5．重力加速度g取10m/s²．
（1）求此風力發電機在風速v₁=10m/s時輸出的電功率；
（2）求皮帶傳送裝置的電動機消耗電功率達到最大值時，皮帶傳送裝置輸出的機械功率；
（3）已知傳送帶兩端A、B之間距離s=10m，高度差h=4.0m．現將一貨箱（可視為質點）無初速地放到傳送帶上A處，經t=1.0s后貨箱與傳送帶保持相對靜止，當貨箱被運送至B處離開傳送帶時再將另一個相同的貨箱以相同的方式放到A處，如此反復，總保持傳送帶上有一個（也只有一個）貨箱．在運送貨箱的過程中，傳送帶的運行速度始終保持v₂=1.0m/s不變．若要保證皮帶傳送裝置的電動機所消耗電功率始終不超過P_電m=500W，貨箱的質量應滿足怎樣的條件．

Answer 1

分析：（1）在時間t內，通過風力發電機葉片的空氣的動能轉化為電能，根據能量守恒定律列式求解即可；
（2）（1）根據電動機的額定功率與額定電壓，求出正常工作時的電流．電動機的自身消耗的功率P_R=I²R，機械功率為P_機械=P_m-I²R．
（3）貨箱在傳送帶上加速運動時，帶動傳送帶運行的電動機需要消耗較大的電功率，所以在貨箱加速過程中電動機如果不超過其允許消耗的最大功率，勻速運行過程中就不會超過其允許消耗的最大電功率．分析貨箱的運動情況，由運動學公式求出貨箱勻加速直線運動的位移和上升的高度，即可求出貨箱增加的機械能和內能，而貨箱增加的機械能和系統增加的內能之和應小于等于P_機械t，列式，可求出貨箱質量的最大值．

解答：解：（1）1s內吹到風力發電機有效面積上空氣的體積V=Sv₁
這些空氣所具有的動能E_k=

1

2

ρVv₁²
風力發電機輸出的電功率  P=

ηEK

t

=

ηρS v 3 1

2t

=2.6×10³W
（2）設帶動傳送帶的電動機消耗電功率最大時通過它的電流為I，此時電動機輸出功率為P_輸出，皮帶傳送裝置輸出的機械功率為P_機械．
則I=

P電m

U額

=2.0A
P_輸出=P_電m-I²R=480W
根據題意可知P_機械=

5

6

P_輸出=400W
（3）設貨箱在恒力作用下做勻加速直線運動的位移為s_x，上升的高度為h_x．
根據勻加速運動公式有s_x=

1

2

v₂t=0.50m，
根據幾何關系解得h_x=0.20m
貨箱在傳送帶上加速運動時，帶動傳送帶運行的電動機需要消耗較大的電功率，所以在貨箱加速過程中電動機如果不超過其允許消耗的最大功率，勻速運行過程中就不會超過其允許消耗的最大電功率
設貨箱質量為m，貨箱被加速的過程中其機械能增加量為E，由于貨箱與傳送帶的摩擦產生的熱量為Q．E=E_p+E_k=mgh_x+

1

2

mv₂²
設貨箱與傳送帶之間的摩擦力為f，對于貨箱在傳送帶上被加速的過程，
根據動能定理有 fs_x-mgh_x=

1

2

mv₂²．
在貨箱加速運動過程中，傳送帶的位移s_帶=v₂t=1.0m，所以貨箱與傳送帶之間的相對位移△s=s_帶-s_x=0.50m，根據功能關系Q=f?△s
聯立解得Q=

mv22+2mghx

2sx

△s
為使電動機工作過程中不超過允許的最大值，應有E_p+E_k+Q小于等于P_機械t，即
mgh_x+

1

2

mv₂²+

mv22+2mghx

2sx

△s≤P_機械t
解得m=

2P機械tsx

(v22+2ghx)(sx+△s)

≤80kg，即貨箱質量不得大于80kg
答：（1）此風力發電機在風速v₁=10m/s時輸出的電功率為2.6×10³W；
（2）皮帶傳送裝置的電動機消耗電功率達到最大值時，皮帶傳送裝置輸出的機械功率為400W；
（3）貨箱的質量不得大于80kg．

點評：解決本題的關鍵是分析能量如何變化的，根據能量守恒定律列式，再結合電路知識和運動學公式進行求解．