Question

（2011?廈門模擬）風能是一種環保型的可再生能源．據勘測，廈門沿海蘊藏大量的風能，具有很大的開發前景．設某一小型風力發電機輸出U=250V穩定的直流電壓，它只給如圖所示的皮帶傳送裝置的電動機（電動機未畫出）供電．已知電動機的額定電壓U_額=250V，額定功率P_m=500W，線圈電阻R=5.0Ω．傳送帶兩端A、B之間距離s=10m，高度差h=4.0m．在運送貨箱的過程中，傳送帶的運行速度始終保持v₂=1.0m/s不變．不計輸電導線的電阻和皮帶傳送裝置各部分的摩擦損耗．重力加速度g取10m/s²．求
（1）電動機正常工作時，電動機的自身消耗的功率和機械功率；
（2）如果將一貨箱（可視為質點）以1.0m/s方向沿傳送帶向上的速度放到傳送帶上A處（放上后立即保持相對靜止），那么貨箱的質量不得超過多少．
（3）如果將一貨箱（可視為質點）無初速地放到傳送帶上A處，經t=1.0s后貨箱與傳送帶保持相對靜止，當貨箱被運送至B處離開傳送帶時再將另一個相同的貨箱以相同的方式放到A處，如此反復，總保持傳送帶上有且僅有一個貨箱．貨箱的質量不得超過多少．

Answer 1

分析：（1）根據電動機的額定功率與額定電壓，求出正常工作時的電流．電動機的自身消耗的功率P_R=I²R，機械功率為P_機械=P_m-I²R．
（2）根據能的轉化和守恒定律：電動機的機械功率等于克服貨箱的重力做功的功率，列式，求出貨箱的質量．
（3）貨箱在傳送帶上加速運動時，帶動傳送帶運行的電動機需要消耗較大的電功率，所以在貨箱加速過程中電動機如果不超過其允許消耗的最大功率，勻速運行過程中就不會超過其允許消耗的最大電功率．分析貨箱的運動情況，由運動學公式求出貨箱勻加速直線運動的位移和上升的高度，即可求出貨箱增加的機械能和內能，而貨箱增加的機械能和系統增加的內能之和應小于等于P_機械t，列式，可求出貨箱質量的最大值．

解答：解：（1）設電動機正常工作時流過它的電流為I，此時電動機自身消耗的功率為P_R，輸出功率為P_機械
則  I=

Pm

U額

=

500

250

A=2.0A              
  P_R=I²R=20W            
  P_機械=P_m-I²R=480W        
（2）根據能的轉化和守恒定律有：
  mgv_y=P_機械
由幾何關系可得  v_y=0.4m/s           
解得  m=120kg              
（3）貨箱在傳送帶上加速運動時，帶動傳送帶運行的電動機需要消耗較大的電功率，所以在貨箱加速過程中電動機如果不超過其允許消耗的最大功率，勻速運行過程中就不會超過其允許消耗的最大電功率．        
設貨箱在恒力作用下做勻加速直線運動的位移為s_x，上升的高度為h_x．
根據勻加速運動公式
  s_x=

1

2

v₂t=0.50m，
根據幾何關系解得
  h_x=0.20m             
設貨箱質量為m，貨箱被加速的過程中其機械能增加量為E，
  E=E_p+E_k=mgh_x+

1

2

mv₂²
設貨箱與傳送帶之間的摩擦力為f，對于貨箱在傳送帶上被加速的過程，根據動能定理有
  fs_x-mgh_x=

1

2

mv₂²             
在貨箱加速運動過程中，傳送帶的位移s_帶=v₂t=1.0m，所以貨箱與傳送帶之間的相對位移△s=s_帶-s_x=0.50m，
根據功能關系  Q=f?△s               
聯立解得  Q=

mv22+2mghx

2sx

△s              
為使電動機工作過程中不超過允許的最大值，應有E_p+E_k+Q小于等于P_機械t，即
  mgh_x+

1

2

mv₂²+

mv22+2mghx

2sx

△s≤P_機械t    
解得  m=

2P機械tsx

( v 2 2 +2ghx)(sx+△s)

≤96kg，即貨箱質量不得大于96kg   
答：
（1）電動機正常工作時，電動機的自身消耗的功率為20W，機械功率為480W；
（2）如果將一貨箱（可視為質點）以1.0m/s方向沿傳送帶向上的速度放到傳送帶上A處（放上后立即保持相對靜止），那么貨箱的質量不得超過120kg．
（3）貨箱的質量不得大于96kg．

點評：解答本題的關鍵是分析能量如何轉化的，根據能量守恒定律列式，再結合電路知識和運動學公式進行求解．