Question

（2007?宿遷模擬）某課外小組經長期觀測，發現靠近某行星周圍有眾多衛星，且相對均勻地分布于行星周圍，假設所有衛星繞該行星的運動都是勻速圓周運動，通過天文觀測，測得離行星最近的一顆衛星的運動半徑為R₁，周期為T₁，已知萬有引力常為G．求：
（1）行星的質量；
（2）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度；
（3）通過天文觀測，發現離行星很遠處還有一顆衛星，其運動半徑為R₂，周期為T₂，試估算靠近行星周圍眾多衛星的總質量．

Answer 1

分析：（1）萬有引力做為向心力，明確告訴了行星的周期，所以向心力的公式要考慮用含有周期的公式．
（2）行星的第一宇宙速度等于星球表面衛星的環繞速度，根據在星球表面，萬有引力等與向心力，列式求解．
（3）因為行星周圍的衛星分布均勻，研究很遠的衛星可把其他衛星和行星整體作為中心天體，根據萬有引力提供向心力求出總質量，則靠近行星周圍眾多衛星的總質量等于剛才求的總質量減去行星質量．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力得：
G

Mm

R12

=m

4π2R1

T12

解得行星質量為：M=

4π2R13

GT12

（2）由G

Mm

R2

=m

v2

R

得第一宇宙速度為：v=

2πR1

T1

R1 R

（3）因為行星周圍的衛星分布均勻，研究很遠的衛星可把其他衛星和行星整體作為中心天體，
根據萬有引力提供向心力得：G

M總m

R22

=m

4π2R2

T22

所以行星和其他衛星的總質量M總=

4π2R23

GT22

所以靠近該行星周圍的眾多衛星的總質量為：△M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

答：（1）行星的質量為

4π2R13

GT12

；
（2）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度為

2πR1

T1

R1 R

；
（3）通過靠近行星周圍眾多衛星的總質量為

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．

點評：根據萬有引力提供向心力，列出等式只能求出中心體的質量．
要求出行星的質量，我們可以在行星周圍找一顆衛星研究，即把行星當成中心體．