Question

如圖所示，水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為0.1m，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比0.1m 小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過圓環(huán)的中心O，將一質(zhì)量和電阻均不計(jì)的導(dǎo)體棒一端固定一個(gè)質(zhì)量為10g的金屬小球，被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細(xì)軸O上，固定小球的一端可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)，小球與圓環(huán)的摩擦因素為0.1，圓環(huán)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為4T、方向豎直向上的恒定磁場(chǎng)中，金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)之間連接如圖電學(xué)元件，不計(jì)棒與軸及與細(xì)圓柱端面的摩擦，也不計(jì)細(xì)圓柱、圓環(huán)及感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，開始時(shí)S₁斷開，S₂拔在1位置，R₁=R₃=4Ω，R₂=R₄=6Ω，C=30uF，求：
（1）S₁閉合，問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端，才能使棒穩(wěn)定后以角速度10rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)？
（2）S₁閉合穩(wěn)定后，S₂由1拔到2位置，作用在棒上的外力不變，則至棒又穩(wěn)定勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，流經(jīng)R₃的電量是多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)于棒的轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小求解時(shí)，可以等效以棒的中點(diǎn)位置速度求解．
對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由功能關(guān)系得外力消耗的能量轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能和電路中電能．
（2）S₁閉合，S₂拔到2位置，穩(wěn)定后對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由功能關(guān)系求解．
S₂由1拔到2位置，求出電容器兩端的電壓，再求出電容器上的電量變化．

解答：解：（1）金屬細(xì)圓柱產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E=

1

2

BωL²=0.2V
對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由功能關(guān)系得(F-f)ωL=

E2

R1+R2

  代入數(shù)據(jù)解得F=0.41N．
（2）S₁閉合，S₂拔到2位置，穩(wěn)定后的金屬細(xì)柱的解速度為ω′
由對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由功能關(guān)系得(F-f)ω′L=

( 1 2 Bω′L2)2

R1+R2

代入數(shù)據(jù)解得ω′=ω=10rad/s 
S₂拔1穩(wěn)定后電容器兩端的電壓為U1=

ER2

R2+R1

=1.2V且上板帶正電
S₂拔2穩(wěn)定后電容器兩端的電壓為U2=

ER1

R2+R1

=0.8V且上板帶負(fù)電  
∴電容器上的電量變化為△Q=（U₁+U₂）C=6×10^-5C
∴流過R₃的電量為Q3=

3

5

△Q=3.6×10-5C
答：（1）S₁閉合，水平外力為0.41N
（2）S₁閉合穩(wěn)定后，S₂由1拔到2位置，作用在棒上的外力不變，則至棒又穩(wěn)定勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，流經(jīng)R₃的電3.6×10^-5C．

點(diǎn)評(píng)：電磁感應(yīng)的問題常與電路和功能關(guān)系結(jié)合起來解決，我們要注意選擇合適的規(guī)律求解．