Question

如圖所示，長為L=9m的傳送帶與水平方向的傾角θ=37°，在電動機的帶動下以v=4m/s的速率沿順時針方向運行，在傳送帶的B端有一離傳送帶很近的擋板P可將傳送帶上的物體擋住，在傳送帶的A端無初速度地釋放一質量m=1Kg的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數為0.5，物體與擋板碰撞時的能量損失及碰撞時間均不計．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
①在物體從第一次由靜止開始下滑到與擋板P第一次相碰后，物體再次上升到最高點的過程中，由于摩擦而產生的熱量為多少？
②試求物體最終的運動狀態以及達到該運動狀態后電動機的輸出功率P．

Answer 1

分析：①根據牛頓第二定律求出物塊在下降過程和上升過程中的加速度，運用運動學公式求出下滑過程和上升過程的相對位移，求出相對運動距離之和，根據Q=fs求出產生的熱量．
②物塊每一次與擋板碰撞，速度較之前都在減小，最終碰撞后反彈的速度等于傳送帶的速度，則先向上做勻減速直線運動，再向下做勻加速直線運動，碰撞的速度不變．根據能量守恒定律，電動機的輸出功率等于克服阻力做功的功率．

解答：解：①物塊從A點由靜止釋放，物塊相對傳送帶向下滑，物塊沿傳送帶向下加速運動的速度
a₁=gsinθ-μgcosθ=2m/s²
與P碰前的速度v₂=

2a1L

=6m/s
物塊從A到B的時間t₁=

v1

a1

=3s
在此過程中物塊相對傳送帶向下位移s₁=L+vt₁=21m
擋板碰撞后，以v₁的速度反彈，因v₁＞v，物塊相對傳送帶向上滑，物塊向上做減速運動的加速度為
a₂=gsinθ+μgcosθ=10m/s²
物塊速度減小到與傳送帶速度相等的時間t₂=

v1+v

a2

=0.2s
在t₂時間內物塊向上的位移L₁=

v1+v

2

t₂=1m
物塊相對傳送帶向上的位移s₂=L₁-vt₂=0.2m
與傳送帶速度相等后物塊相對傳送帶向下滑，物塊向上做減速運動的加速度a₃=gsinθ-μgcosθ=2m/s²
物塊速度減小到零的時間t₃=

v

a

=2s
物塊向上的位移L₂=

v

2

t₃=4m
此過程中物塊相對傳送帶向下的位移s₃=vt₃-L₂=4m
摩擦生熱Q=μmgcosθ（s₁+s₂+s₃）=100.8J
（2）物塊上升到傳送帶的最高點后，物塊沿傳送帶向下加速運動，與擋板P第二次碰撣前的速度v₂=

2a1(L1+L2)

=

20

m/s 
碰后因v₂＞v，物塊先向上做加速度為a₂的減速運動，再做加速度為a₃的減速運動，物塊向上的位移為L₃=

v22-v2

2a2

+

v2

2a3

=4.2m
物塊與擋板第三次碰撞前的速度v₃=

2a1L3

=2

4.2

m/s
在此類推經過多次碰撞后物塊以v=4m/s的速度反彈，故最終物塊在P與離P 4m的范圍內不斷做向上的加速度為2m/s²的減速運動和向下做加速度為2 m/s²的加速運動，物塊的運動達到這一穩定狀態后，物塊對傳送帶有一與傳送帶運動方向相反的阻力：
F_f=μmgcosθ
輸出功率P=μmgcosθ?v=16w
答：①最終物塊在P與離P 4m的范圍內不斷做向上的加速度為2 m/s²的減速運動和向下做加速度為2 m/s²的加速運動；
②電動機的輸出功率為16W．

點評：本題過程較復雜，關鍵理清每一段過程，運用牛頓定律和運動學知識進行分析．