Question

【題目】如圖所示，足夠長(zhǎng)的平直軌道AO和OB底端平滑對(duì)接，將它們固定在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道與水平地面間的夾角分別為α（固定不變）和β（可取不同的值），且α＞β，現(xiàn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的一小滑塊從左側(cè)軌道的P點(diǎn)由靜止釋放，若小滑塊經(jīng)過(guò)兩軌道的底端連接處的速率沒(méi)有變化。已知AO軌道光滑，空氣阻力可以忽略不計(jì)。

（1）論證：滑塊在AO軌道下滑時(shí)的加速度與滑塊的質(zhì)量無(wú)關(guān)；

（2）運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，論證：若OB光滑，取不同的β角，滑塊在OB上能到達(dá)的最高點(diǎn)總與P等高；

（3）運(yùn)用動(dòng)能定理和機(jī)械能的相關(guān)定義，論證：若OB光滑，保持β角不變，滑塊在OB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒。

Answer 1

【答案】（1）論證過(guò)程如解析過(guò)程；（2）論證過(guò)程如解析過(guò)程所示；（3）論證過(guò)程如解析過(guò)程。

【解析】

（1）滑塊的受力圖（如下面左圖），沿斜面和垂直斜面建坐標(biāo)軸（如下面右圖），

根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsinα＝maA，

解得aA＝gsinα，可知與質(zhì)量無(wú)關(guān)；

（2）設(shè)P點(diǎn)的高度為H，滑塊到O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0，則根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：

類(lèi)似（1）受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律，可得滑塊在OB上滑時(shí)的加速度大小為：aB＝gsinβ

設(shè)上升的最大高度為h，則由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：

解得

所以有h＝H，這一結(jié)論與β無(wú)關(guān)，故滑塊在OB上能到達(dá)的最高點(diǎn)總與P等高；

（3）設(shè)滑塊到O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0，從O到OB上的某點(diǎn)K的過(guò)程中，上升的高度為hx，根據(jù)動(dòng)能定理：

即

也即

上式左邊即為滑塊在任意點(diǎn)K所具有的機(jī)械能，右邊為在O點(diǎn)的動(dòng)能。