Question

【題目】伽利略在研究運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系時(shí)，曾經(jīng)考慮了一個(gè)無(wú)摩擦的理想實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在A點(diǎn)處懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的擺球，將擺球拉至B點(diǎn)處由靜止釋放，擺球?qū)�擺到與B點(diǎn)等高的C處；假若在A點(diǎn)正下方的E處釘一釘子，擺球的運(yùn)動(dòng)路徑會(huì)發(fā)生改變，但仍能升到與開(kāi)始等高的D處。若圖中的擺線長(zhǎng)為l，初始時(shí)刻擺線與豎直線之間的夾角為60°，重力加速度大小為g。求：

(1)擺球擺到最低點(diǎn)O時(shí)速度的大小；

(2)擺球擺到最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)擺線的拉力大小；

(3)將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A點(diǎn)的距離至少多大時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。

Answer 1

【答案】(1)擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)速度；(2) 擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)擺線的拉力大小為；(3)當(dāng)釘子與的距離至少為時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。

【解析】

(1)擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)摩擦，擺球擺到最低點(diǎn)O的過(guò)程，只有重力做功，那么機(jī)械能守恒；則有：

解得：

；

(2)擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律得：

可得：

由牛頓第三定律知：擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)擺線的拉力大小為。

(3)設(shè)小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，其軌道半徑為，在最高點(diǎn)處由牛頓第二定律得：

；

從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)由動(dòng)能定理得：

；

解得：

；

所以有：

；

故將處的釘子下移，當(dāng)釘子與的距離至少為時(shí)，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。