Question

【題目】一足球運動員自點向球門的點踢出球，已知、之間的距離為，球自向的運動可視為水平地面上的勻速直線運動，速率為．另一足球運動員到連線的距離為，到、兩點的距離相等．運動員踢出球后，運動員以勻速沿直線去攔截該球．設運動員開始出發去攔截球的時刻與球被運動員踢出的時刻相同．

（1）如果運動員能攔截到球，求運動員開始出發去攔截球直至攔截到球的時間間隔、球被攔截時球到點的距離、球到運動員出發點的距離和運動員運動的方向與、連線的夾角；

（2）求為了使運動員能攔截到球，、、和應當滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）；；；

（2）

【解析】

（1）記運動員踢出球的時刻為零時刻．設運動員沿著與、連線夾角為的方向運動，球在時刻被運動員攔截．令球被攔截時球到點和運動員到出發點的距離分別為和，則①②

由幾何關系有③④

從③④式消去，并利用①②式得⑤

此即⑥

這是關于的一元二次方程。解為

⑦

由①②⑦式得⑧

⑨

由④⑨式得⑩

（2）方程⑥有實數解的條件是或

依題意有條件要求，當，當

值得注意的是，利用⑩式條件可寫成

它是自動滿足的。綜上所述，式即運動員2攔截到球的條件。

當式中大于號成立時，運動員2可在兩處攔截到球；當中等號成立時，

⑦⑧⑨⑩式成為

運動員2只能在一處攔截到球。