Question

(16分)如圖所示，讓一可視為質點的小球從光滑曲面軌道上的A點無初速滑下，運動到軌道最低點B后，進入半徑為R的光滑豎直圓軌道，并恰好通過軌道最高點C，離開圓軌道后繼續在光滑平直軌道上運動到D點后拋出，最終撞擊到擱在軌道末端點和水平地面之間的木板上，已知軌道末端點距離水平地面的高度為H＝0.8m，木板與水平面間的夾角為θ＝37°，小球質量為m＝0.1kg，A點距離軌道末端豎直高度為h＝0.2m，不計空氣阻力。(取g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

⑴求圓軌道半徑R的大小；
⑵求小球從軌道末端點沖出后，第一次撞擊木板時的位置距離木板上端的豎直高度有多大；
⑶若改變木板的長度，并使木板兩端始終與平臺和水平面相接，試通過計算推導小球第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ變化的關系式，并在圖中作出E_k-(tanθ)²圖象。

Answer 1

⑴R＝0.08m；⑵y＝0.45m；⑶E_k＝0.8tan²θ＋0.2，其中0＜tan²θ≤1，

解析試題分析：⑴小球恰好能通過C點，因此，在C點，根據牛頓第二定律和向心力公式有：mg＝
小球由A點運動至C點的過程中，只有重力做功，根據動能定理有：mg(h－2R)＝－0
聯立以上兩式解得：R＝＝0.08m
⑵小球從A點運動至D點的過程中，只有重力做功，根據動能定理有：mgh＝－0
小球離開D點后開始做平拋運動，設經時間t落到木板上，根據平拋運動規律可知，在水平方向上有：x＝v_Dt
在豎直方向上有：y＝
根據圖中幾何關系有：tanθ＝
聯立以上各式解得：y＝4htan²θ＝0.45m，即小球從軌道末端點沖出后，第一次撞擊木板時的位置距離木板上端的豎直高度為：y＝0.45m
⑶小球從離開D點到第一次撞擊木板的過程中，根據動能定理有：mgy＝E_k－
解得：E_k＝mgy＋
由⑵中求解可知：E_k＝mgh(4tan²θ＋1)＝0.8tan²θ＋0.2
顯然，當小球落地時動能最大，為：E_km＝mg(h＋H)＝1J
所以有：0＜tan²θ≤1，其圖象如下圖所示。

考點：本題主要考查了牛頓第二定律、平拋運動規律、圓周運動向心力公式、動能定理(或機械能守恒定律)的應用以及圖象問題，屬于中檔偏高題。