Question

如圖所示，相距為L的兩根豎直的足夠長的光滑導軌MN、PQ，M、P之間接一阻值為R的定值電阻，金屬棒ab質量為m，與導軌接觸良好．整個裝置處在方向垂直紙面向里水平勻強磁場中，金屬棒和導軌電阻不計．現讓ab棒由靜止釋放，經時間t達穩定狀態，此時ab棒速度為v；
（1）請證明導體棒運動過程中，克服安培力的功率等于電路中的電功率．
（2）若m=0.2kg，L=0.5m，R=lΩ，v=2m/s，棒從開始釋放到穩定狀態過程中流過棒電量為0.5C，求磁感應強度B大小以及棒從開始到達到穩定狀態下落的高度h．（g取10m/s²）
（3）接第（2）問，若棒從開始到達到穩定狀態所用時間t=2s，求流過電阻R的電流有效值．（結果可保留根號）

Answer 1

分析：（1）根據 E=BLv、I=

E

R

、F=BIL、P=Fv推導出克服安培力的功率．電路中的電功率P=

E2

R

．從而進行證明．
（2）穩定時，棒做勻速直線運動，根據平衡條件和安培力公式列式求解B．根據感應電量q=

△Φ

R

，△Φ=BLh，可求出h．
（3）根據能量守恒定律求出棒產生的熱量，由Q=I²Rt求解流過電阻R的電流有效值．

解答：解：（1）ab邊切割磁感線產生的電動勢為 E=BLv
通過線框的電流為 I=

E

R

ab所受的安培力 F=BIL
克服安培力的功率 P_安=Fv
聯立得：P_安=

B2L2v2

R

；
電路中的電功率 P_電=

E2

R

=

(BLv)2

R

=

B2L2v2

R

故得：P_安=P_電，所以導體棒運動過程中，克服安培力的功率等于電路中的電功率．得證．
（2）ab棒穩定時，勻速運動，受力平衡，則得：
  mg=BIL
又 I=

BLv

R

則得：B=

mgR L2v

=

0.2×10×1 0．52×2

T=2T
流過棒電量：q=

.

I

△t，
又

.

I

=

. E

R

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLh
聯立得：q=

BLh

R

得：h=

qR

BL

=

0.5×1

2×0.5

=0.5m．
（3）設ab中產生的熱量Q．
根據能量守恒定律得：Q+

1

2

mv2=mgh
得：Q=mgh-

1

2

mv2=（0.2×10×0.5-

1

2

×0.2×22）J=0.6J
由Q=I²R?t得：I=

Q Rt

=

0.6 1×2

A=

30

10

A
答：（1）證明略．（2）磁感應強度B大小是2T，棒從開始到達到穩定狀態下落的高度h是0.5m．（3）流過電阻R的電流有效值為

30

10

A．

點評：解決該題關鍵要熟練推導安培力與速度的關系式，掌握感應電量公式q=

△Φ

R

，并運用此公式求h．把握各個量之間的關系，選擇相關的物理規律求解．