Question

【題目】物理中存在“通量”這個物理量，“通量”的定義要用到高等數學知識．在高中階段，對“通量”的定義采用的是簡單化處理方法并輔以形象化物理模型進行理解．

（1）“磁通量”就是一種常見的“通量”．在高中階段我們是這樣來定義“磁通量”的：設在磁感應強度為的勻強磁場中，有一個與磁場方向垂直的平面，面積為，我們把與的乘積叫做穿過這個面積的磁通量（圖1），簡稱磁通．用字母表示，則．磁通量可以形象地理解為穿過某一面積的磁感線條數的多少．如圖2所示，空間存在水平向右的勻強磁場，磁感應強度大小為．一個面積為的矩形線圈與豎直面間的夾角為，試求穿過該矩形線圈的磁通量．

（2）“電通量”也是一種常見的“通量”．在定義“電通量”時只需要把“磁通量”中的磁感應強度替換為電場強度即可．請同學們充分運用類比的方法解決以下問題．已知靜電力常量為．

圖3 圖4

a．如圖3所示，空間存在正點電荷，以點電荷為球心作半徑為的球面，試求通過該球面的電通量．

b．上述情況映射的是靜電場中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫侖定律出發得到嚴格證明．“高斯定理”可表述為：通過靜電場中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內所含電荷量與的乘積，即,其中為靜電力常量．試根據“高斯定理”證明：一個半徑為的均勻帶電球體（或球殼）在外部產生的電場，與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同，球外各點的電場強度也是，式中是球心到該點的距離， 為整個球體所帶的電荷量．

Answer 1

【答案】（1）（2）a． b．

【解析】（1）．

（2）a．根據點電荷的場強公式，求得球面上各處的電場強度大小為，

由于球面上各處電場強度方向都與球面垂直，故通過球面的電通量為，

，

b．證明：過距離球心距離的點作一球面，根據對稱性可知該球面上各點場強大小相等，方向處處球面垂直．設該點的電場強度為，通過該球面的電通量為，則

，

由高斯定理知， ，

所以有，

化簡得，這就是球心處的點電荷在處產生的場強，證明完畢．