Question

如圖所示為示波管的示意圖，豎直偏轉(zhuǎn)電極的極板長(zhǎng)l=4.0cm，兩板間距離d=1.0cm，極板右端與熒光屏的距離L=18cm．由陰極發(fā)出的電子經(jīng)電場(chǎng)加速后，以v=1.6×10⁷ m/s沿中心線進(jìn)入豎直偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)．若電子由陰極逸出時(shí)的初速度、電子所受重力及電子之間的相互作用力均可忽略不計(jì)，已知電子的電荷量e=1.6×10^-19 C，質(zhì)量m=0.91×10^-30 kg．
（1）求加速電壓U₀的大小；
（2）要使電子束不打在偏轉(zhuǎn)電極的極板上，求加在豎直偏轉(zhuǎn)電極上的電壓應(yīng)滿足的條件；
（3）在豎直偏轉(zhuǎn)電極上加u=40sin100πt（V）的交變電壓，求電子打在熒光屏上亮線的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）電子在加速電場(chǎng)中，電場(chǎng)力做正功eU₀，根據(jù)動(dòng)能定理求解加速電壓U₀的大小．
（2）電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，電子剛好飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)距離為

d

2

．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解豎直偏轉(zhuǎn)電極上的電壓．
（3）由u=40sin100πt（V）可知ω=100πrad/s，最大電壓為U_m=40V．偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)變化的周期T=

2π

ω

=0.02s，t=

l

v

=2.5×10^-9 s．T＞＞t，則每個(gè)電子通過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過程中，電場(chǎng)可視為穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場(chǎng)．當(dāng)極板間加最大電壓時(shí)，電子有最大偏轉(zhuǎn)量，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式電子通過偏轉(zhuǎn)電壓時(shí)最大偏轉(zhuǎn)距離．電子離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向的分速度等于v，電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)到達(dá)熒光屏的時(shí)間 t′=

L

vx

=

L

v

，電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后在豎直方向的位移為y₂=v_y t′，打在熒光屏上的總偏移量Y_m=y_m+y₂，打在熒光屏產(chǎn)生亮線的長(zhǎng)度為2Y_m．

解答：解：（1）對(duì)于電子通過加速電場(chǎng)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理有 eU₀=

1

2

mv²
解得U₀=728V
（2）設(shè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)電壓為U₁時(shí)，電子剛好飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，則此時(shí)電子沿電場(chǎng)方向的位移恰為

1

2

d，
即

d

2

=

1

2

at2=

1

2

?

eU1

md

t2
電子通過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的時(shí)間t=

l

v

解得 U1=

d2m

et2

=91V，
所以，為使電子束不打在偏轉(zhuǎn)電極上，加在偏轉(zhuǎn)電極上的電壓U應(yīng)小于91V．
（3）由u=40sin100πt（V）可知ω=100πrad/s，U_m=40V
偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)變化的周期T=

2π

ω

=0.02s，而t=

l

v

=2.5×10^-9 s．T＞＞t，可見每個(gè)電子通過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過程中，電場(chǎng)可視為穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場(chǎng)．
當(dāng)極板間加最大電壓時(shí)，電子有最大偏轉(zhuǎn)量y_m=

1

2

eUm

md

t2=0.20cm．
電子飛出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)平行極板方向分速度v_x=v，
垂直極板方向的分速度v_y=a_yt=

eUm

md

t
電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)到達(dá)熒光屏的時(shí)間 t′=

L

vx

=

L

v

電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后在豎直方向的位移為y₂=v_y t′=2.0cm
電子打在熒光屏上的總偏移量Y_m=y_m+y₂=2.2cm
電子打在熒光屏產(chǎn)生亮線的長(zhǎng)度為2Y_m=4.4cm．
答：
（1）加速電壓U₀的大小為728V；
（2）要使電子束不打在偏轉(zhuǎn)電極的極板上，加在豎直偏轉(zhuǎn)電極上的電壓應(yīng)滿足的條件應(yīng)小于91V；
（3）在豎直偏轉(zhuǎn)電極上加u=40sin100πt（V）的交變電壓，電子打在熒光屏上亮線的長(zhǎng)度是4.4cm．

點(diǎn)評(píng)：本題中電子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理求加速獲得的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類平拋運(yùn)動(dòng)．第3問也可以用下面的方法求解：設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)有最大電壓時(shí)射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度與初速度方向的夾角為θ，則tanθ=

vy

vx

=0.11，電子打在熒光屏上的總偏移量Y_m=(

l

2

+L)tanθ=2.2cm，電子打在熒光屏產(chǎn)生亮線的長(zhǎng)度為2Y_m=4.4cm．