Question

如圖所示，長為L的木板A右邊固定著一個擋板，包括擋板在內的總質量為1.5M，靜止在光滑的水平地面上。有一質量為M的小木塊B，從木板A的左端開始以初速度v₀在
木板A上滑動。小木塊B與木板A間摩擦因數為μ，小木塊B滑到木板A的右端與擋板發生碰撞。已知碰撞過程時間極短，且碰后木塊B恰好滑到木板A的左端就停止滑動。
（1）若μL=3v₀²/160g，在小木塊B與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦力對木板A做正功還是負功？做了多少？
（2）討論木板A和小木塊B在整個過程中，是否有可能在某一段時間內相對地面運動方向是向左的。如果不可能，說明理由；如果可能，求出至少可能向左滑動、又能保證木板A和小木塊B剛好不脫離的條件。

Answer 1

（1）摩擦力對木板做負功，大小為（27/400）M v₀²
（2）B向左滑又不脫離A的條件是2v₀²/15g＜μL≤3v₀²/20g

（1）設B與A碰撞后A、B的速度分別為v_A、v_B，最終A、B的共同速度為v，則由動量守恒、能量守恒有m_Bv₀=m_Av_A+m_Bv_B，m_Bv₀=（m_A+m_B）v
μm_BgL=（1/2）m_Av_A²+（1/2）m_Bv_B²-（1/2）（m_A+m_B）v²
又μL=3v₀²/160g
以上各式聯列解得v=（2/5）v₀，v_A=（1/2）v₀，v_B=（1/4）v₀
或v=（2/5）v₀，v_A=（3/10）v₀，v_B=（11/20）v₀
分析上述兩組結果，由于兩物碰撞后均與v₀同向，而其中第二組結果v_A=（3/10）v₀＜v_B=（11/20）v₀，該速度關系與實際不符，舍去
因此，由動能定理可得摩擦力做功
W_f =（1/2）（1.5M）v²-（1/2）（1.5M）v_A²=-（27/400）M v₀²
即摩擦力對木板做負功，大小為（27/400）M v₀²
（2）整個過程動量守恒，A不可能向左運動，碰后B可能。
要使B向左運動，由動量守恒、能量守恒有
m_Bv₀=m_Av_A+m_Bv_B，m_Bv₀=（m_A+m_B）v
μm_BgL=（1/2）m_Av_A²+（1/2）m_Bv_B²-（1/2）（m_A+m_B）v²  v_B＜0
以上各式聯列解得μL＞2v₀²/15g
要保證A和B不脫離，由動量守恒和能量守恒有
m_Bv₀=（m_A+m_B）v
2μm_BgL≥（1/2）m_Bv₀²-（1/2）（m_A+m_B）v²
解得μL≤3v₀²/20g
故B向左滑又不脫離A的條件是2v₀²/15g＜μL≤3v₀²/20g